Question

如圖，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足為D，sin∠DBC=

2

7

．
（1）求

BC

AC

的值；
（2）如果△ABC的周長(zhǎng)18，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．通過(guò)解直角△BCD求得

EC

AC

=

2

7

，故

1 2 BC

AC

=

2

7

，則即

BC

AC

=

4

7

；
（2）利用三角形的周長(zhǎng)公式求得三角形的三邊長(zhǎng)度，然后通過(guò)勾股定理求得AE的長(zhǎng)度，則利用三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
∵AB=AC，
∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．
又∵BD⊥AC，垂足為D，sin∠DBC=

2

7

．
∴cos∠ECA=sin∠DBC=

2

7

，即

EC

AC

=

2

7

，
∴

1 2 BC

AC

=

2

7

，則

BC

AC

=

4

7

；

（2）由（1）知，

BC

AC

=

4

7

．
故設(shè)AC=7a，BC=4a．
依題意得 14a+4a=18，
解得 a=1．
則AC=7，BC=4．
∴在直角△AEC中，由勾股定理得：AE=

AC2-EC2

=

72-22

=3

5

，
則△ABC的面積=

1

2

BC•AE=

1

2

×4×3

5

=6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)．此題利用勾股定理求得AE的長(zhǎng)度．