Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上的一點，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為點M，N．求證：AP=MN．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，然后求出四邊形PMCN是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得PC=MN，再利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=PC，從而得解．

【解答】解：連接PC，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BCD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，AB=BC，

又∵PN⊥DC，PM⊥BC，

∴∠PMC=90°，∠PNC=90°，

∴四邊形PMCN為矩形，

∴PC=MN，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP=PC，

∴AP=MN．

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．