Question

如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，0），且∠ACD=90°．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令y=0，即ax2﹣8ax+12a=0，

解得x1=2，x2=6，

∴A（2，0），B（6，0）．

 

（2）拋物線的解析式為：y=ax2﹣8ax+12a（a＞0），

令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．

在Rt△COD中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；

在Rt△COD中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；

在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；

即：（144a2+36）+（144a2+4）=82，

解得：a=或a=﹣（舍去），

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x+．

 

（3）存在．

對(duì)稱(chēng)軸為直線：x=﹣=4．

由（2）知C（0，），則點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C′（8，），

連接AC′，與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．此時(shí)△PAC周長(zhǎng)最小，最小值為AC+AC′．

設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，則有：

，解得，

∴y=x﹣．

當(dāng)x=4時(shí)，y=，∴P（4，）．

過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥x軸于點(diǎn)E，則C′E=，AE=6，

在Rt△AC′E中，由勾股定理得：AC′==4；

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC==4．

∴AC+AC′=4+4．

∴存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，），△PAC周長(zhǎng)的最小值為4+4．

 

（4）①當(dāng)﹣6≤t≤0時(shí)，如答圖4﹣1所示．

∵直線m平行于y軸，

∴，即，解得：GH=（6+t）

∴S=S△DGH=DH•GH=（6+t）•（6+t）=t2+2t+6；

②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如答圖4﹣2所示．

∵直線m平行于y軸，

∴，即，解得：GH=﹣t+2．

∴S=S△COD+S梯形OCGH=OD•OC+（GH+OC）•OH

=×6×2+（﹣t+2+2）•t

=﹣t2+2t+6．

∴S=．