【題目】如圖,四邊形為正方形,為對角線上的動點(diǎn),過點(diǎn)作,交射線于,交射線于.
(1)求證;;
(2)求證;;
(3)若,當(dāng)時,直接寫出的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)或
【解析】
(1)連接EC,通過證明EG=EC,EF=EC,來證明EG=EF,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明∠2=∠3,∠4=∠5即可;
(2)作EH⊥BC,易知EG=BE,由△GEH∽△GFC 易得CF=2EG,從而證得;
(3)分兩種情況,F點(diǎn)在線段DC上和F點(diǎn)在線段CD的延長線上,設(shè)BE(或DE)的長為x,結(jié)合(2)的結(jié)論,利用等腰三角形及方程的思想即可得解.
(1)證明:連接CE,
∵四邊形ABCD為正方形
∴BA=BC,∠ABC=∠BCD=90°
∠ABE=∠CBE=45°
又BE=BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)
∴∠1=∠3
又FG⊥AE
∴∠AEM=90°
∴∠1+∠AME=90°
又∠2+∠BMG=∠ABC=90°,∠AME=∠BMG
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴EG=EC
又∠3+∠4=90°,∠2+∠5=90°
∴∠4=∠5
∴EC=EF
∴EF=EG
(2)作EH⊥BC,H為垂足,
則△BEH為等腰直角三角形,EG=BE,∠GHE=90°=∠BCD
又∠EGH=∠FGC
∴△GEH∽△GFC
∴
∴FC=2EH=2×EB=EB
(3)或,簡證如下:
①延長AE,交GC于M,連接AC,過點(diǎn)M作MH⊥AC,交AC于點(diǎn)H,則CM=MH
∵,∠GEM=90°,∠EBM=45°,
∴,
∴BE=GB=GM,
又∵易得∠BAM=∠CAM=22.5°,
∴AM平分∠BAC,
∴BM=MH
設(shè)BE=x,則BM=MH=x,CM=x,
∴BM+MC=BC=AB
∴x+x=4,
解得:x=4(-1),
即BE=4(-1),而CF=BE,
∴CF=
延長AE,交DC于M,連接AC,過點(diǎn)M作MH⊥AC,交AC于點(diǎn)H,則CM=MH
設(shè)DE=x,則同理可得DE=DF=DM=MH=x,CM=x,
∵DM+CM=DC=AB
∴x+x=4,
解得:x=4(-1),
∴DE=DM=DF=4(-1),
∴CF=CD+DF=4+4(-1)=4,
綜上:的長為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC,點(diǎn)E在CB延長線上,BE=AD,連接AC、AE.
⑴ 求證:AE=AC;
⑵ 若AB⊥AC, F是BC的中點(diǎn),試判斷四邊形AFCD的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn),點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且過點(diǎn).點(diǎn)P、Q是拋物線上的動點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時,求面積的最大值.
(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)與相似時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次課外實(shí)踐活動中,同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A,B兩個涼亭之間的距離.選涼亭A,C作為觀測點(diǎn).如圖,現(xiàn)測得∠CAB=45°,∠ACB=98°,AC=200米,請計算A,B兩個涼亭之間的距離、(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(抗擊疫情)為了遏制新型冠狀病毒疫情的蔓延勢頭,各地教育部門在推遲各級學(xué)校開學(xué)時間的同時提出“聽課不停學(xué)”的要求,各地學(xué)校也都開展了遠(yuǎn)程網(wǎng)絡(luò)教學(xué),某校集中為學(xué)生提供四類在線學(xué)習(xí)方式:在線閱讀、在線聽課、在線答疑、在線討論,為了了解學(xué)生的需求,該校通過網(wǎng)絡(luò)對本校部分學(xué)生進(jìn)行了“你對哪類在線學(xué)習(xí)方式最感興趣”的調(diào)查,并根據(jù)結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖。
(1)本次調(diào)查的人數(shù)有多少人?
(2)請補(bǔ)全條形圖;
(3)請求出“在線答疑”在扇形圖中的圓心角度數(shù);
(4)小寧和小娟都參加了遠(yuǎn)程網(wǎng)絡(luò)教學(xué)活動,請求出小寧和小娟選擇同一種學(xué)習(xí)方式的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮和小偉一起參加象棋比賽,他們所在的小組共有5名選手.抽簽袋里有2紅2黑1白共5個小球,摸到同色的成為首輪對手,摸到白球的首輪輪空.現(xiàn)在小組其他3名選手首先依次各摸走一個小球,小亮看到第1個選手摸走的是紅球,他對小偉說根據(jù)這3名選手的摸球結(jié)果我已經(jīng)知道咱倆恰好首輪對陣的概率了.請你求這個概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為,.則拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“長跑”是中考體育考試項(xiàng)目之一.某中學(xué)為了解九年級學(xué)生“長跑”的情況,隨機(jī)抽取部分九年級學(xué)生,測試其長跑成績(男子1000米,女子800米),按長跑的時間的長短依次分為A,B,C,D四個等級進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共抽取了 名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中,D類所對應(yīng)的扇形圓心角大小為 ;
(2)所抽取學(xué)生“長跑”測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(3)若該校九年級共有900名學(xué)生,請你估計該校C等級的學(xué)生約在多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個少年在綠茵場上游戲.小紅從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B,小蘭從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度沿⊙O逆時針運(yùn)動一周回到點(diǎn)C,兩人的運(yùn)動路線如圖1所示,其中AC=DB.兩人同時開始運(yùn)動,直到都停止運(yùn)動時游戲結(jié)束,其間他們與點(diǎn)C的距離y與時間x(單位:秒)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.則下列說法正確的有________.(填序號)
①小紅的運(yùn)動路程比小蘭的長;② 兩人分別在1.09秒和7.49秒的時刻相遇;③ 當(dāng)小紅運(yùn)動到點(diǎn)D的時候,小蘭已經(jīng)經(jīng)過了點(diǎn)D ;④在4.84秒時,兩人的距離正好等于⊙O的半徑.
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