如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,垂足為D.
(1)若AD=9,BC=16,求BD的長(zhǎng);
(2)求證:AB2•BC=CD2•AD.
(1)12,(2)證明見解析.
解析試題分析:(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADB=∠DBC,再由∠A=90°,BD⊥CD可知∠A=∠BDC=90°,故可得出△ABD∽△DCB,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論;
(2)由(1)可知△ABD∽△DCB,再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出結(jié)論.
試題解析::(1)∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∵∠A=90°,BD⊥CD,
∴∠A=∠BDC=90°,
∴△ABD∽△DCB,
∴,
即BD2=AD•BC=9×16=144,
∴BD=12;
(2)∵由(1)可知△ABD∽△DCB,△ABD與△DCB均為直角三角形,
∴,
∴AB2•BC=CD2•AD.
考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.直角梯形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連接DE,OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:BC2=2CD•OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=,求OE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
操作:小明準(zhǔn)備制作棱長(zhǎng)為1cm的正方體紙盒,現(xiàn)選用一些廢棄的圓形紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì):
說明:方案一:圖形中的圓過點(diǎn)A、B、C;
方案二:直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合,斜邊經(jīng)過兩個(gè)正方形的頂點(diǎn).
紙片利用率=×100%
發(fā)現(xiàn):(1)方案一中的點(diǎn)A、B恰好為該圓一直徑的兩個(gè)端點(diǎn).
你認(rèn)為小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)是否正確,請(qǐng)說明理由.
(2)小明通過計(jì)算,發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%.
請(qǐng)幫忙計(jì)算方案二的利用率,并寫出求解過程.
探究:
(3)小明感覺上面兩個(gè)方案的利用率均偏低,又進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)(方案三),請(qǐng)直接寫出方案三的利用率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,如圖1,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上,AH=2,連接CF.
(1)如圖2,當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí),求CF的長(zhǎng)和△FCG的面積;
(2)如圖1,設(shè)AE=x,△FCG的面積=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與y的最大值.
(3)當(dāng)△CG是直角三角形時(shí),求x和y值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格內(nèi)有一個(gè)三角形ABC
(1)把△ABC沿著軸向右平移5個(gè)單位得到△A1B1C1,請(qǐng)你畫出△A1B1C1
(2)請(qǐng)你以O(shè)點(diǎn)為位似中心在第一象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2,使得△ABC與△A2B2C2的位似比為1:2;
(3)請(qǐng)你寫出△A2B2C2三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。(3分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
把兩個(gè)直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點(diǎn)O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm.
(1)圖1中線段AO的長(zhǎng)= cm;DO= cm
圖1
(2)如圖2,把△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<90°)得△D1CE1,D1C與AB相交于點(diǎn)F,若△BCE1恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長(zhǎng).
圖2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,等腰中,,D是BC上一點(diǎn),且.
(1)求證:∽;
(2)若,,求BC的長(zhǎng);
(3)若,求的值.
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