把兩個(gè)直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點(diǎn)O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm.
(1)圖1中線段AO的長(zhǎng)= cm;DO= cm
圖1
(2)如圖2,把△DCE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<90°)得△D1CE1,D1C與AB相交于點(diǎn)F,若△BCE1恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長(zhǎng).
圖2
(1)AO=cm;DO=cm; (2).
解析試題分析:(1)作,利用三角形相似來求出線段AO ,DO的長(zhǎng);
(2)連接BE1 ,過點(diǎn)E1作E1G⊥BC于G, 過點(diǎn)F作FH⊥BC于H,根據(jù)三角形相似求出BF,即可得到答案.
試題解析:(1)如圖,過點(diǎn)A作,
∵∠ACB與∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB= ,
∴AC=BC=6,
∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10.
∴ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,
∵
∴△AFC∽△DEC
∴ ,即AF= ,
∴ ,即EF=2,
∴BF=EF+BE=2+1=3,
∵
∴△BOE∽△BAF
∴,即AO=
,即OE=
∴DO=DE-OE=
(2) 連接BE1 ,過點(diǎn)E1作E1G⊥BC于G, 過點(diǎn)F作FH⊥BC于H,
∵△DCE繞著點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度
∴∠E1CG=α,
∵△BCE1恰好是以BC為底邊的等腰三角形,
∴E1G是線段BC的中垂線
∵E1C=5,BC=6
∴CG=BH=3,,
∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,
∴BH=FH,令BH=FH=x,
則:CH=6-x
在△FHC與△CG E1中
∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,
∴∠E1CG =∠CFH,
∵∠FHC=∠CG E1=90°,
∴△FHC∽△CG E1,
∴ ,即: ,解得 ,
∴FH=,
∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,
∴
∴ .
考點(diǎn):三角形相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
好學(xué)的小宸利用電腦作了如下的探索:
(1)如圖①,將邊長(zhǎng)為2的等邊三角形復(fù)制若干個(gè)后向右平移,使一條邊在同一直線上.則△A2C1B1的面積為 ;
(2)求△A4C3B3的面積;
(3)在保持圖①中各三角形的邊OB1=B1B2=B2B3=B3B4=2不變的前提下,小宸又作了如下探究:將頂點(diǎn)A1、A2、A3、A4向上平移至同一高度(如圖②),若OA4=OB4,試判斷以O(shè)A2、OA3和OA4為三邊能否構(gòu)成三角形?若能,請(qǐng)判斷這個(gè)三角形的形狀;若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓,兩人準(zhǔn)備用測(cè)量影子的方法測(cè)算其樓高,但恰逢陰天,于是兩人商定改用下面方法:如圖,亮亮蹲在地上,穎穎站在亮亮和樓之間,兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置,當(dāng)樓的頂部,穎穎的頭頂及亮亮的眼睛恰在一條直線上時(shí),兩人分別標(biāo)定自己的位置,.然后測(cè)出兩人之間的距離,穎穎與樓之間的距離(,,在一條直線上),穎穎的身高,亮亮蹲地觀測(cè)時(shí)眼睛到地面的距離.你能根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)幫助他們求出住宅樓的高度嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,垂足為D.
(1)若AD=9,BC=16,求BD的長(zhǎng);
(2)求證:AB2•BC=CD2•AD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AC⊥BC.
(1)求證:△ADC∽△BCA;
(2)若AB=9cm,AC=6cm,求梯形ABCD中位線的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在△ABC中,∠B= 90°,點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)。
(1)如果P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒鐘,△PBQ的面積等于8厘米2?
(2)如果P、Q兩分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并且P到B又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn),Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn),經(jīng)過幾秒鐘,△PCQ的面積等于12﹒6厘米2 ?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平行四邊形中,過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),連接,為線段上一點(diǎn),且.
(1)求證:∽;
(2)若,,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,射線AE與射線BC交于點(diǎn)E,射線AF與射線CD交于點(diǎn)F,∠EAF=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),試猜想線段EF、BE、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.
(2)設(shè)BE=x,DF=y,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不包括點(diǎn)B、C),如圖1,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍.
(3)當(dāng)點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不含端點(diǎn)B),點(diǎn)F在射線CD上運(yùn)動(dòng).試判斷以E為圓心以BE為半徑的⊙E和以F為圓心以FD為半徑的⊙F之間的位置關(guān)系.
(4)當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí),設(shè)AE與CD交于點(diǎn)G,如圖2.問⊿EGF與⊿EFA能否相似,若能相似,求出BE的值,若不可能相似,請(qǐng)說明理由.
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