Question

20、我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．
例如：（a+b）⁰=1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；（a+b）¹=a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；
…
根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：
（1）（a+b）⁴展開式共有

5

項(xiàng)，系數(shù)分別為

1，4，6，4，1

；
（2）（a+b）ⁿ展開式共有

n+1

項(xiàng)，系數(shù)和為

2ⁿ

．

Answer 1

分析：本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于（a+b）^n-1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和．因此可得（a+b）⁴的各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項(xiàng)，
各項(xiàng)系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）當(dāng)a=b=1時，（a+b）ⁿ=2ⁿ．
故答案為：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．

點(diǎn)評：本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵在于觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．