Question

已知拋物線y=-x²+1的頂點為P，點A是第一象限內該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結PA、PD，PD交AB于點E，△PAD與△PEA相似嗎？（　�。�

• A、始終不相似
• B、始終相似
• C、只有AB=AD時相似
• D、無法確定

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：先求出點P的坐標，從而得到OP的長，再設點A的橫坐標為m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根據(jù)△PEF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA²、PE、PD，從而得到

PA

PD

=

PE

PA

，再根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似解答．

解答：解：令x=0，則y=1，
∴OP=1，
設點A的橫坐標為m，
則AD=-m²+1，
∵AB⊥y軸，AD⊥x軸，
∴AF=OD=m，OF=-m²+1，PF=1-（-m²+1）=m²，
在Rt△PAF中，PA²=PF²+AF²=（m²）²+m²=m⁴+m²，
在Rt△POD中，PD=

OP2+OD2

=

12+m2

=

1+m2

，
由AB∥x軸得，△PEF∽△PDO，
∴

PF

OP

=

PE

PD

，
即

m2

1

=

PE

1+m2

，
解得，PE=m²

1+m2

，
∴PA²=PD•PE=m⁴+m²，
∴

PA

PD

=

PE

PA

，
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD與△PEA始終相似．
故選B．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，表示出兩個三角形的公共角的夾邊成比例是解題的關鍵．