Question

如圖，矩形紙片ABCD中，已知AB=5，AD=4，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中剪裁出的一個(gè)正方形MNEF．
（1）試求∠BNE+∠CFE的度數(shù)；
（2）試求BN+CF的值；
（3）試求點(diǎn)E到BC的距離；
（4）寫出EM的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作PQ垂直于AB，分別交AB、CD于點(diǎn)P、Q，證得△EPN≌△EQF，由此可得；
（2）由（1）的方法同理得出△EPN≌△EQF≌△AMN≌△MDF，得出四邊形APQD為正方形，進(jìn)一步求得結(jié)果即可；
（3）由四邊形PBCQ是矩形，算出答案即可；
（4）當(dāng)M、N、E、F為正方形APQD中點(diǎn)時(shí)EM最小；當(dāng)M、N、E、F為正方形APQD時(shí)，EM最大由此求得即可．

解答：解：（1）如圖，

過(guò)點(diǎn)E作PQ垂直于AB，分別交AB、CD于點(diǎn)P、Q，
∵∠QFE+∠QEF=∠NEP+∠QEF=90°
∴QFE=∠NEP
在△EPN和△EQF中，

∠FQE=∠EPN ∠QFE=∠PEN EF=NE

∴△EQF≌△EPN（AAS）
∴∠BNE=∠FEQ
∴∠BNE+∠CFE=90°；
（2）由△EQF≌△EPN得證明方法，
同理可得△EPN≌△EQF≌△AMN≌△MDF
∴EP=FQ=AN=DM，PN=QE=AM=DF
∴AP=PQ=QD=DA=4
∴四邊形APQD為正方形，
∴BN+CF=BP+PN+QF+CQ=4+（5-4）+（5-4）=6；
（3）∵四邊形PBCQ是矩形，
∴點(diǎn)E到BC的距離等于CQ的長(zhǎng)為5-4=1；
（4）EM的最大值=

42+42

=4

2

；最小值=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．