Question

【題目】如圖，過點A（1，0）作x軸的垂線與直線y＝x相交于點B，以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、D，拋物線y＝x2+px+q經過點B、C．

（1）求p、q的值；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸相交于點E，連接CE并延長與⊙O相交于點F，求EF的長；

（3）記⊙O與x軸負半軸的交點為G，過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．點H是否在拋物線上？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）p＝1，q＝﹣1；（2）；（3）點H在拋物線y＝x2+x﹣1上．詳見解析

【解析】

（1）根據點A（1，0）作x軸的垂線與直線y＝x相交于點B，從而求出B點的坐標，以及C點的坐標，將B，C分別代入即可求出p，q的值；

（2）運用配方法求出二次函數的頂點坐標，再利用勾股定理求出CE的長，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的長；

（3）首先求出直線CG為：y＝x1，進而求出點H的坐標為（2，1）．代入解析式即可．

（1）∵點A（1，0）作x軸的垂線與直線y＝x相交于點B點，

∴B（1，1），

∵以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、點A（1，0），

∴C（0，﹣1）．

代入y＝x2+px+q，得，解得

故p＝1，q＝﹣1．

∴

（2）∵，

∴E（，0）

∴．

連接DF，

∵CD是直徑，

∴∠CFD=90°，

又∠COE=90°，∠FCD=∠OCE

∴Rt△CFD∽Rt△COE，

得，即

∴．

∴．

（3）設過點C、G的直線為y＝kx+b．

將點C（0，﹣1），G（﹣1，0）代入得，

解得

得直線CG為：y＝﹣x﹣1．

設過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．

∵DH平行于x軸，

∴點H的縱坐標為1．

將y＝1代入y＝﹣x﹣1，得x＝﹣2．

∴點H的坐標為（﹣2，1）．

又當x＝﹣2時，y＝x2+x﹣1＝1，

∴點H在拋物線y＝x2+x﹣1上．