(1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是
C
C
(填代號(hào))
A.2sin(30°+α)=sinα+
3
   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
3

C.2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
(3)應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8
2
,求S△ABC
分析:(1)正確的選項(xiàng)為C;
(2)過(guò)A作AD⊥BM,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)C作CE⊥AB,在直角三角形ABM中,利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,得到AM等于AB的一半,再由∠ACM為三角形ABC的外角,利用外角性質(zhì)得到∠ACM=30°+α,在直角三角形AEC中,表示出EC與AE,在直角三角形BEC中,表示出BE,由AE+EB表示出AB,化簡(jiǎn)后即可得證;
(3)由上述結(jié)論2sin(30°+45°)=
3
sin45°+cos45°,求出sin75°的值,過(guò)A作AE垂直于BC,由BD分別求出AB與BC的長(zhǎng),在直角三角形AB中,利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長(zhǎng),利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積.
解答:解:(1)正確的選項(xiàng)為C;
(2)過(guò)A作AM⊥BM,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)C作CE⊥AB,
∵∠AMB=90°,∠B=30°,
∴AM=
1
2
AB,即AB=2AM,
∵∠ACM為△ABC的外角,
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α,
在Rt△ACM中,AC=1,
∴AM=ACsin∠ACM=sin(30°+α),
則AB=2sin(30°+α),
在Rt△AEC中,EC=ACsinα=sinα,AE=ACcosα=cosα,
在Rt△BEC中,BE=
CE
tan30°
=
3
CE=
3
sinα,
則AB=BE+AE=
3
sinα+cosα,
則2sin(30°+α)=
3
sinα+cosα;
(3)∵∠ABD=45°,∠CBD=30°,
∴2sin(30°+45°)=
3
sin45°+cos45°=
6
+
2
2
,
∴sin75°=
6
+
2
4

過(guò)A作AE⊥BC,
在等腰直角三角形ABD中,BD=8
2

∴AB=AD=8,
在Rt△BCD中,BD=8
2
,
∴CD=4
2
,BC=
BD2-CD2
=4
6
,
在Rt△ABE中,sin75°=
AE
AB
,
∴AE=8×
6
+
2
4
=2
6
+2
2
,
則S△ABC=
1
2
BC•AE=
1
2
×4
6
×(2
6
+2
2
)=24+8
3
點(diǎn)評(píng):此題屬于解直角三角形題型,涉及的知識(shí)有:含30°直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,勾股定理,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:矩形紙片ABCD中,AB=26厘米,BC=18.5厘米,點(diǎn)E在AD上,且AE=6厘米,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn).按如下操作:
步驟一,折疊紙片,使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合,展開紙片得折痕MN(如圖1所示);
步驟二,過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB,交MN所在的直線于點(diǎn)Q,連接QE(如圖2所示)
(1)無(wú)論點(diǎn)P在AB邊上任何位置,都有PQ
 
QE(填“>”、“=”、“<”號(hào));
(2)如圖3所示,將紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中,按上述步驟一、二進(jìn)行操作:
①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí),PT與MN交于點(diǎn)Q1,Q1點(diǎn)的坐標(biāo)是(
 
,
 
);
②當(dāng)PA=6厘米時(shí),PT與MN交于點(diǎn)Q2,Q2點(diǎn)的坐標(biāo)是(
 
,
 
);
③當(dāng)PA=12厘米時(shí),在圖3中畫出MN,PT(不要求寫畫法),并求出MN與PT的交點(diǎn)Q3的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程,PT與MN形成一系列的交點(diǎn)Q1,Q2,Q3,…觀察、猜想:眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式.③③
精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•龍巖質(zhì)檢)觀察、猜想、探究
已知矩形ABCD中,直線l垂直AC于點(diǎn)C,點(diǎn)E是BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交直線l于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng)AB=BC,E為BC中點(diǎn)時(shí),猜想線段AE與FE有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖②,已知AB=3,AD=4.
①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),求AE:EF的值;
②探究:當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),AE:EF的值是否發(fā)生改變?若不變,請(qǐng)求出該值并給予證明;若發(fā)生改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是______(填代號(hào))
A.2sin(30°+α)=sinα+數(shù)學(xué)公式 
B.2sin(30°+α)=2sinα+數(shù)學(xué)公式
C.2sin(30°+α)=數(shù)學(xué)公式sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
(3)應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8數(shù)學(xué)公式,求S△ABC

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年山東省威海市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

(1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是______(填代號(hào))
A.2sin(30°+α)=sinα+   
B.2sin(30°+α)=2sinα+
C.2sin(30°+α)=sinα+cosα.
(2)探究與證明:如圖1,△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖1證明(1)中你猜想的結(jié)論;
(3)應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題:
兩塊分別含有45°和30°的直角三角板如圖2方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8,求S△ABC

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案