Question

已知：矩形紙片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，點(diǎn)E在AD上，且AE=6厘米，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)．按如下操作：
步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，展開紙片得折痕MN（如圖1所示）；
步驟二，過點(diǎn)P作PT⊥AB，交MN所在的直線于點(diǎn)Q，連接QE（如圖2所示）
（1）無論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQ

 

QE（填“＞”、“=”、“＜”號(hào)）；
（2）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：
①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)Q₁，Q₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（

 

，

 

）；
②當(dāng)PA=6厘米時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)Q₂，Q₂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

 

，

 

）；
③當(dāng)PA=12厘米時(shí)，在圖3中畫出MN，PT（不要求寫畫法），并求出MN與PT的交點(diǎn)Q₃的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程，PT與MN形成一系列的交點(diǎn)Q₁，Q₂，Q₃，…觀察、猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式．③③

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的特點(diǎn)可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．
（2）過點(diǎn)E作EG⊥Q₃P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設(shè)Q₃G=x，則Q₃E=Q₃P=x+6．利用Rt△Q₃EG中的勾股定理可知x=9，Q₃P=15．即Q₃（12，15）．
（3）根據(jù)上述的點(diǎn)的軌跡可猜測(cè)這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式：y=

1

12

x²+3（0≤x≤26）．

解答：解：（1）PQ=QE．（2分）

（2）①（0，3）；②（6，6）．（6分）
③畫圖，如圖所示．（8分）

解：方法一：設(shè)MN與EP交于點(diǎn)F．
在Rt△APE中，∵PE=

AE2+AP2

=6

5

，
∴PF=

1

2

PE=3

5

．
∵∠Q₃PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q₃PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q₃FP=90°，
∴△Q₃PF∽△PEA．
∴

Q3P

PE

=

PF

EA

．
∴Q₃P=

PE•PF

EA

=15．
∴Q₃（12，15）．（11分）
方法二：過點(diǎn)E作EG⊥Q₃P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．
∴GP=6，EG=12．
設(shè)Q₃G=x，則Q₃E=Q₃P=x+6．
在Rt△Q₃EG中，∵EQ₃²=EG²+Q₃G²
∴x=9．
∴Q₃P=15．
∴Q₃（12，15）．（11分）

（3）這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線．（12分）
函數(shù)關(guān)系式：y=

1

12

x²+3（0≤x≤26）．（14分）
說明：若考生的解答：圖象是拋物線，函數(shù)關(guān)系式：y=

1

12

x²+3均不扣分．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，是07年中考的壓軸題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動(dòng)點(diǎn)P在AB上的移動(dòng)構(gòu)造探究性問題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗(yàn)證”活動(dòng)過程中，提高動(dòng)手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．而試題的三個(gè)探究問題表現(xiàn)出對(duì)試題的求解要求層次分明，體現(xiàn)了“讓不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”這一基本教學(xué)理念，第3小題的求解，是對(duì)前兩小題的探究與方法的遷移運(yùn)用，較好地考查了學(xué)生的閱讀理解能力、代數(shù)計(jì)算能力、遷移運(yùn)用能力和歸納表達(dá)能力．試題對(duì)提高學(xué)生的思維品質(zhì)和實(shí)踐能力均有建樹，具有一定的區(qū)分度．