Question

分在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，點P在BC上，且BP：PC=2：3，動點E在邊AD上，過點P作PF⊥PE分別交射線AD、射線CD于點F、G．
（1）如圖，當點G在線段CD上時，設(shè)AE=x，△EPF與矩形ABCD重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（2）當點E在移動過程中，△DGF是否可能為等腰三角形？如可能，請求出AE的長；如不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）重疊的面積可由矩形減去小矩形ABHE、△EHP、△PCG求的，ABHE與△EHP的面積易求，又有△PEH∽△GPC，可得GC與x之間的關(guān)系，得出△PCG的面積，進而可求解；
（2）首先假設(shè)△DGF是等腰三角形，那么有 GD=FD，求出CG=CP=3，根據(jù)△EHP∽△PCG得出比例式，求出PH，得出H和B重合，推出A、E重合，即可求出AE=0．

解答：解：（1）過點E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴

PH

EH

=

GC

PC

，
∵BP：PC=2：3，BC=5，
∴PB=2，PC=3，
∴GC=

2-x

2

•3．
∴y=2×5-2x-

1

2

×（2-x）×2-

1

2

×3×

3(2-x)

2

=

5

4

x+

7

2

（

2

3

≤x＜2）；

（2）解：當點E在移動過程中，△DGF不能為等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF=90°，
∴DF=DG，
∴∠G=∠GFD=45°，
∵∠C=90°，
∴∠GPC=45°=∠G，
∴CP=CG=3，
由（1）知：

PH

EH

=

GC

PC

，
∴

PH

2

=

3

3

，
PH=2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即當AE=0時，AD=4，F(xiàn)D=1，則△EPF與BC無交點，
則不存在△DFG是等腰三角形．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定問題，能夠熟練掌握并運用．