Question

如圖，A、B、C、D為矩形的4個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別以3cm/s、2cm/s的速度從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D移動(dòng)．
（1）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過2s時(shí)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少cm？
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q隨點(diǎn)P的停止而停止移動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？
（3）若點(diǎn)P沿著AB→BC→CD移動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D停止時(shí)，點(diǎn)P隨點(diǎn)Q的停止而停止移動(dòng)，試探求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間△PBQ的面積為 12cm²？

Answer 1

分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的長(zhǎng)度，利用PE²+EQ²=PQ²列出方程求解即可；
（2）設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程（16-5x）²=64，通過解方程即可求得x的值；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上；③當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PE⊥CD于E．則根據(jù)題意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根據(jù)勾股定理，得
PE²+EQ²=PQ²，即36+36=PQ²，
∴PQ=6

2

cm；
∴經(jīng)過2s時(shí)P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6

2

cm；

（2）設(shè)x秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．
（16-2x-3x）²+6²=10²，即（16-5x）²=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=

8

5

，x2=

24

5

；
∴經(jīng)過

8

5

s或

24

5

sP、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm；

（3）連接BQ．設(shè)經(jīng)過ys后△PBQ的面積為12cm²．
①當(dāng)0≤y≤

16

3

時(shí)，則PB=16-3y，
∴

1

2

PB•BC=12，即

1

2

×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②當(dāng)

16

3

＜x≤

22

3

時(shí)，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，則

1

2

BP•CQ=

1

2

（3y-16）×2y=12，
解得y₁=6，y2=-

2

3

（舍去）；   
③

22

3

＜x≤8時(shí)，
QP=CQ-PQ=22-y，則

1

2

QP•CB=

1

2

（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
綜上所述，經(jīng)過4秒或6秒△PBQ的面積為 12cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．解答（3）時(shí)，要分類討論，以防漏解．