Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，BC∥OA，BC=3，OA=6，AB=3

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)

（2）已知D.E分別為線段OC.OB上的點(diǎn)，OD=5，OE=2BE，直線DE交x軸于點(diǎn)F，求直線DE的解析式

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M是直線DE上的一點(diǎn)，在x軸上方是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O.D.M.N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）B（3,6） (2) y=-x+5 (3) 存在N1 （4,8） N2 （-5,2.5）N3（-2,）

【解析】分析：（1）作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形，則OH=CB=3，進(jìn)而可求得AH的長(zhǎng)，在Rt△ABH中，根據(jù)勾股定理即可求出BH的長(zhǎng)，由此可得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作EG⊥x軸于點(diǎn)G,則EG∥BH，易得根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出EG、OG的長(zhǎng)，即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；
（3）此題應(yīng)分情況討論：
①以OD、ON為邊的菱形ODMN，根據(jù)直線DE的解析式可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OF的長(zhǎng)；過(guò)M作 軸于P，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)向下平移OD個(gè)單位即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以OD、OM為邊的菱形ODNM，此時(shí)MN∥y軸，延長(zhǎng)NM交x軸于P，可根據(jù)直線DE的解析式用未知數(shù)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可在中，由勾股定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，將M點(diǎn)向上平移OD個(gè)單位即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)；
③以OD為對(duì)角線的菱形OMCN，根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)即可求得M、N的縱坐標(biāo)，將M點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線DE的解析式中即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，而M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可得到N點(diǎn)的坐標(biāo)．

詳解：(1)作BH⊥x軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形，

∴OH=CB=3，

∴AH=OAOH=63=3，

在Rt△ABH中,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6)；

(2)作EG⊥x軸于點(diǎn)G,則EG∥BH，

∴△OEG∽△OBH，

∴

又∵OE=2EB，

∴ ∴

∴OG=2，EG=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4)，

又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,5)，

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，

則

解得

∴直線DE的解析式為：

(3)答：存在；

①如圖1,當(dāng)OD=DM=MN=NO=5時(shí),四邊形ODMN為菱形.作MP⊥y軸于點(diǎn)P,則MP∥x軸,MPD∽△FOD

∴

又∵當(dāng)y=0時(shí),

解得x=10，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,0)，

∴OF=10，

在Rt△ODF中,

∴

∴

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為

②如圖2,當(dāng)OD=DN=NM=MO=5時(shí),四邊形ODNM為菱形,延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P,則MP⊥x軸.

∵點(diǎn)M在直線上，

∴設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

在Rt△OPM中,

∴

解得： (舍去)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3)，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,8)；

③如圖3,當(dāng)OM=MD=DN=NO時(shí),四邊形OMDN為菱形,連接NM,交OD于點(diǎn)P,則NM與OD互相垂直平分,

∴

∴

∴

∴

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為

綜上所述,x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè),分別為