Question

如圖，△ABC三個頂點C、A、B的坐標(biāo)分別是C（0，-3）、A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，其中x₁、x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM．
①當(dāng)△CMN的面積與△AMN的面積相等時，求此時線段MN的長；
②當(dāng)△CMN的面積為2時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）解方程得出方程x²-2x-8=0的兩個根即可得出A，B兩點坐標(biāo)；
（2）①利用S_△CMN=S_△AMN得出AN=NC，進而得出MN為△ABC的中位線求出MN即可；
②利用MN∥BC，得出△AMN～△ABC，進而得出NH=

m+2

2

，用m表示出△CMN的面積求出m即可．

解答：解：（1）∵x²-2x-8=0，
∴x₁=-2，x₂=4，
∴A（-2，0），B（4，0）；

（2）①∵S_△CMN=S_△AMN
∴AN=NC，
∵MN∥BC，
∴MN為△ABC的中位線
在Rt△OBC中，OB=4，OC=3，則BC=5，
∴MN=

1

2

BC=2.5，
②設(shè)點M的坐標(biāo)為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H（如圖）
∵點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（4，0）
∴AB=6，AM=m+2，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC
∴

NH

CO

=

AM

AB

，
∴

NH

3

=

m+2

6

∴NH=

m+2

2

，
∴S△CMN=S△ACM-S△AMN=

1

2

AM•CO-

1

2

AM•NH
=

1

2

(m+2)(3-

m+2

2

)=2，
∴整理得：m²-2m=2，
解得m₁=0，m₂=2，
∴點M的坐標(biāo)為（0，0），（2，0）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積求法，利用相似三角形的性質(zhì)得出NH=

m+2

2

是解題關(guān)鍵．