Question

如圖，點(diǎn)P（t，0）是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，分別與直線y=

1

2

x，直線y=-x交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊向右側(cè)作正方形ABCD．有下列五個(gè)結(jié)論：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP²=2AP•PB；④S_△AOB=3S_△AOP；⑤當(dāng)t=2時(shí)，正方形ABCD的周長(zhǎng)是16．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：①由兩條垂直直線的斜率的積等于-1即可判定①∠AOB=90°故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②根據(jù)等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③由直線的斜率可知

AP

OP

=

1

2

，

OP

PB

=1，根據(jù)2（

AP

OP

）=

OP

PB

，即可求得OP²=2AP•PB，故選項(xiàng)正確；
④設(shè)A（m，

1

2

m），則B（m，-m），得出△AOP的面積=

1

2

OP•

1

2

m=

1

4

m•OP，△BOP的面積=

1

2

OP•m=

1

2

m•OP，從而求得S_△BOP=2S_△AOP，進(jìn)而得出S_△AOB=3S_△AOP，故選項(xiàng)正確；
⑤t=2時(shí)根據(jù)直線的解析式先求得PA=1、PB=2，進(jìn)而求得AB=3，所以正方形的周長(zhǎng)=12，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

解答：解：①由直線y=

1

2

x，直線y=-x可知，它們的斜率的積=-

1

2

≠-1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°錯(cuò)誤；
②∵AB⊥x軸，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；
③由直線的斜率可知：

AP

OP

=

1

2

，

OP

PB

=1，
∴2（

AP

OP

）=

OP

PB

，
∴OP²=2AP•PB，故OP²=2AP•PB正確；
④設(shè)A（m，

1

2

m），則B（m，-m），
∵△AOP的面積=

1

2

OP•

1

2

m=

1

4

m•OP，△BOP的面積=

1

2

OP•m=

1

2

m•OP，
∴S_△BOP=2S_△AOP，
∴S_△AOB=3S_△AOP，
故S_△AOB=3S_△AOP正確；
⑤t=2時(shí)，PA=

1

2

×2=1，
PB=|-1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×3=12；故當(dāng)t=2時(shí)，正方形ABCD的周長(zhǎng)是16錯(cuò)誤；
故答案為③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線斜率的特點(diǎn)，等腰三角形的判定，直角三角函數(shù)的意義，三角形的面積的求法，正方形的周長(zhǎng)等，③OP²=2AP•PB的求得是本題的難點(diǎn)．