Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：
（1）四邊形CGEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和x的取值范圍；
（2）面積S是否存在著最小值？若存在，求其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，S的數(shù)值等于x的4倍．

Answer 1

分析：（1）首先可尋找四邊形CGEF與題中圖形之間的關(guān)系，讀圖可得，S_{四邊形CGEF}=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF，據(jù)此即可求出四邊形CGEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再由AB、CD、AD的值求取x的取值范圍；
（2）把（1）中所得的二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式的形式，再根據(jù)實(shí)際情況求解；
（3）由題意，可得x²-7x+18=4x，解方程即可．

解答：解：（1）S_{四邊形CGEF}=S_梯形ABCD-S_△EGD-S_△EFA-S_△BCF
=

1

2

×（3+6）×4-

1

2

x(4-x)-

1

2

x(6-x)-

1

2

x•4
=x²-7x+18（3分）
∵x＞0，且3-x＞0，4-x＞0，6-x＞0，
∴0＜x＜3（1分）
則所求的函數(shù)表達(dá)式是S=x²-7x+18（0＜x＜3）（1分）

（2）S=x²-7x+18=(x-

7

2

)2+

23

4

，
由于x=

7

2

不在x的取值范圍內(nèi)，而x也取不到0，（2分）
則面積S的最小值不存在．（1分）

（3）由題意，令S=4x，代入（1）題中求得的S關(guān)于x的表達(dá)式，
得x²-7x+18=4x，解方程，得x₁=2，x₂=9（2分）
∵0＜x＜3，∴x₂=9不合題意．（1分）
則當(dāng)x=2時(shí)，S的數(shù)值等于x的4倍．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的具體應(yīng)用，以及最值的求法，難度中等．