Question

探索與研究
（方法1）如圖：

對任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點旋轉90°所得，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程；
（方法2）如圖

是任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎？

Answer 1

分析：方法1，關鍵描述語是：四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．應根據(jù)這句話進行解答．
方法2，定量關系為：△ABC和Rt△ACD的面積之和=Rt△ABD和△BCD的面積之和．

解答：解：
（方法1）
S_{正方形ACFD}=S_△BAE+S_△BFE
即：b2=

1

2

c2+

1

2

(b+a)(b-a)
整理：2b²=c²+（b+a）（b-a）
∴a²+b²=c²．

（方法2）
此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點順時針旋轉90°，再向下平移得到．一方面，四邊形ABCD的面積等于△ABC和Rt△ACD的面積之和，另一方面，四邊形ABCD的面積等于Rt△ABD和△BCD的面積之和，所以：
S_△ABC+S_△ACD=S_△ABD+S_△BCD
即：

1

2

b2+

1

2

ab=

1

2

c2+

1

2

a(b-a)
整理：b²+ab=c²+a（b-a）
b²+ab=c²+ab-a²
∴a²+b²=c²．

點評：根據(jù)所給圖形，找到相應的等量關系是解決本題的關鍵．