【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,點D、E分別在AC、BC上,且CD·BC=AC·CE,以E為圓心,DE長為半徑作圓,⊙E經(jīng)過點B,與AB、BC分別交于點F、G.

(1)求證:AC是⊙E的切線;

(2)若AF=4,CG=5,求⊙E的半徑;

(3)若Rt△ABC的內(nèi)切圓圓心為I,求⊙I的面積.

【答案】(1)證明見解析;(2)⊙E的半徑為20;(3)130π.

【解析】(1)證明CDE∽△CAB,得∠EDC=A=90°,所以AC是⊙E的切線;

(2)如圖1,作輔助線,構(gòu)建矩形AHED,設(shè)E的半徑為r,表示BHEC的長,證明BHE∽△EDC,列比例式代入r可得結(jié)論;

(3)如圖2,作輔助線,構(gòu)建直角IME,分別求IMME的值,利用勾股定理可求IE的長.

(1)∵ CD·BC=AC·CE,

∵∠DCE=∠ACB.

∴△CDE∽△CAB,

∴∠EDC=∠A=90° ,

∴ED⊥AC

又∵點D⊙O上,

AC⊙E相切于點D .

(2)過點EEH⊥AB,垂足為H,

∴BH=FH.

在四邊形AHED中,∠AHE=∠A=∠ADE=90°,

∴四邊形AHED為矩形,

∴ED=HA,ED∥AB,

∴∠B=∠DEC.

設(shè)⊙O的半徑為r,EB=ED=EG=r,

∴BH=FH=r-4,EC=r+5.

在△BHE和△EDC中,

∵∠B=∠DEC,∠BHE=∠EDC,

∴△BHE∽△EDC.

,即

∴r=20.即⊙E的半徑為20.

(3)如圖2,過IIMBCM,過IIHABH,

由①得:FH=BH=r-4=20-4=16,AB=AF+2BH=4+2×16=36,

BC=2r+5=2×20+5=45,

AC= =27,

IRtABC的內(nèi)心,

IM=(AB+ACBC) ÷2=(36+2745) ÷2=9,

AH=IM=9,

BH=BM=36-9=27,

EM=27-20=7,

RtIME中,由勾股定理得:IE= , .

⊙I的面積=π×=130π.

練習(xí)冊系列答案
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