【題目】如圖直線與x軸、y軸分別交于點A,B,C是的中點,點D在直線上,以為直徑的圓與直線的另一交點為E,交y軸于點F,G,已知,,則的長是______.
【答案】
【解析】
如圖,設(shè)CD的中點為O′,設(shè)直線BA交直線y=﹣2于M,直線y=﹣2交y軸于P,作CH⊥OB于H,連接O′F,作AJ⊥DM于J,O′N⊥FG于N.首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和條件可確定A,B,C的坐標,再設(shè)D(m,﹣2),進而可得O′N與O′F的長,而FN=,然后在Rt△O′FN中利用勾股定理構(gòu)建方程即可求出m,問題即得解決.
解:如圖,設(shè)CD的中點為O′,設(shè)直線BA交直線y=﹣2于M,直線y=﹣2交y軸于P,作CH⊥OB于H,連接O′F,作AJ⊥DM于J,O′N⊥FG于N.
∵CD是⊙O′的直徑,∴∠CED=90°,
∵直線y=﹣x+m(m>0)與x軸、y軸分別交于點A,B,
∴A(m,0),B(0,m),
∴OA=OB,∴∠OAB=45°,
∵OA∥DM,∴∠EMD=∠OAB=45°,
∵∠DEM=90°,∴ED=EM,
∴EC+ED=EC+EM=CM=,
∵JA⊥DM,∴∠AJM=90°,
∴AJ=JM=2,AM=2,
∴BC=CA=4,∴AB=8,∴BO=AO=8,
∴A(8,0),B(0,8),C(4,4),
設(shè)D(m,﹣2),則O′((m+4),1),
∴O′N=(m+4),O′F=CD=,
∵O′N⊥FG,∴FN=,
在Rt△O′FN中,由勾股定理,得:,解得m=1,
∴CD=.
故答案為:.
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【題目】已知方程,為實數(shù),且,證明:
(1)這個方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)一個根大于1,另一個根小于1.
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【題目】為了解某市區(qū)九年級學(xué)生每天的健身活動情況,隨機從市區(qū)九年級的12000名學(xué)生中抽取了500名學(xué)生,對這些學(xué)生每天的健身活動時間進行統(tǒng)計整理,作出了如下不完整的統(tǒng)計圖(每組數(shù)據(jù)含最小值不含最大值,統(tǒng)計數(shù)據(jù)全部為整數(shù)),請根據(jù)以下信息解答如下問題:
時間/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
30~40 | 25 | 0.05 |
40~50 | 50 | 0.10 |
50~60 | 75 | b |
60~70 | a | 0.40 |
70~80 | 150 | 0.30 |
(1)a=_______,b=_______;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)學(xué)生每天健身時間的中位數(shù)會落在哪個時間段?
(4)若每天健身時間在60分鐘以上為符合每天“陽光一小時”的規(guī)定,則符合規(guī)定的學(xué)生人數(shù)大約是多少人?
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【題目】某商家在購進一款產(chǎn)品時,由于運輸成本及產(chǎn)品成本的提高,該產(chǎn)品第 x 天的成本 y(元/件)與 x(天)之間的關(guān)系如圖所示,并連續(xù) 60 天均以 80 元/件的價格出售, 第 x 天該產(chǎn)品的銷售量 z(件)與 x(天)滿足關(guān)系式 z=x+15.
(1)第 25 天,該商家的成本是 元,獲得的利潤是 元;
(2)設(shè)第 x 天該商家出售該產(chǎn)品的利潤為 w 元.
①求 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;
②求出第幾天的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如圖①,點O在斜邊AB上,以點O為圓心,OB長為半徑的圓交AB于點D,交BC于點E,與邊AC相切于點F.求證:∠1=∠2;
(2)在圖②中作⊙M,使它滿足以下條件:①圓心在邊AB上;②經(jīng)過點B;③與邊AC相切.(尺規(guī)作圖,只保留作圖痕跡,不要求寫出作法)
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,連接OC交⊙O于E,過點A作AF⊥AC于F交⊙O于D,連接DE,BE,BD
(1)求證:∠C=∠BED;
(2)若AB=12,tan∠BED=,求CF的長.
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【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,以AB為直徑作⊙O,交BC邊于點D,交AC邊于點F,作DE⊥AC于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若△ABC的邊長為4,求EF的長度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=x﹣4與拋物線y=+bx+c交于坐標軸上兩點A、C,拋物線與x軸另一交點為點B;
(1)求拋物線解析式;
(2)若動點D在直線AC下方的拋物線上;
①作直線BD,交線段AC于點E,交y軸于點F,連接AD;求△ADE與△CEF面積差的最大值,及此時點D的坐標;
②如圖2,作DM⊥直線AC,垂足為點M,是否存在點D,使△CDM中某個角恰好是∠ACO的一半?若存在,直接寫出點D的橫坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E為外角∠BCD平分線上一動點(不與點C重合),點E關(guān)于直線BC的對稱點為F,連接BE,連接AF并延長交直線BE于點G.
(1)求證:AF=BE;
(2)用等式表示線段FG,EG與CE的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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