Question

如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，連接AC，BC．

（1）若∠CPA=30°，求PC的長(zhǎng)；

（2）探究：當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否總存在∠PCB=∠CAB？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)PC=cm;(2)存在，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OC,由切線(xiàn)的性質(zhì)得OC⊥PC,然后根據(jù)三角函數(shù)定義可求PC的值；（2）由切線(xiàn)的性質(zhì)得∠OCB+∠PCB=90°,因?yàn)锳B是圓的直徑，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”得∠A+∠ABC=90°,根據(jù)等角的余角相等，可知∠PCB=∠CAB.歸納：連接圓心與切點(diǎn)之間的半徑是常見(jiàn)的輔助線(xiàn).

試題解析：（1）連接OC，

∵PC為⊙O的切線(xiàn)，

∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，

∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=，

又∠CPA=30°，AB=6cm，

∴（cm），

（2）存在．證明如下：

∵PC為⊙O的切線(xiàn)，

∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°

又∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∴∠PCB=∠CAB．

考點(diǎn)：1、切線(xiàn)的性質(zhì)；2、圓周角定理的推論.