Question

已知一次函數(shù)y₁=x+m的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)．已知當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂．

（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）已知雙曲線在第一象限上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）y₁=x+5  （2）21

試題分析：（1）首先根據(jù)x＞1時(shí)，y₁＞y₂，0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂確定點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線解析式解答；
（2）根據(jù)點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離判斷出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CD∥x軸交直線AB于D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后得到CD的長度，再聯(lián)立一次函數(shù)與雙曲線解析式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解：（1）∵當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞y₂；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁＜y₂，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，
代入反比例函數(shù)解析式，=y，
解得y=6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），
又∵點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上，
∴1+m=6，
解得m=5，
∴一次函數(shù)的解析式為y₁=x+5；
（2）∵第一象限內(nèi)點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，
∴y==2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），
過點(diǎn)C作CD∥x軸交直線AB于D，

則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
∴x+5=2，
解得x=﹣3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，2），
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，
點(diǎn)A到CD的距離為6﹣2=4，
聯(lián)立，
解得（舍去），，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，﹣1），
∴點(diǎn)B到CD的距離為2﹣（﹣1）=2+1=3，
S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)已知條件先判斷出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．