Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與y軸交于點A(0，-4)，與x軸交于點B(-2，0)，C(8，0)，連接AB，AC．

（1）求出二次函數表達式；

（2）若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AB，交AC于點M，連接AN，當以點A，M，N為頂點的三角形與以點A，B，O為頂點的三角形相似時，求此時點N的坐標；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A，N，C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(3，0)或(0，0)；（3）(-8，0)或或(3，0)或（8+4，0）

【解析】

（1）根據待定系數法即可求得；
（2）易知△ABC是直角三角形，設點N的坐標為（n，0），分兩種情況討論，根據三角形相似對應邊成比例，構建方程，根據解方程式求得即可；
（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標．

解：（1）∵二次函數的圖象與x軸交于點B（-2，0）、C（8，0），與y軸交于A（0，-4）

∴ ，

解得： ，

∴二次函數表達式是；

（2）∵AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．

∵BC2=(BO+OC)2=100，

∴AB2+AC2=BC2．

∴△ABC是直角三角形；

設點N的坐標為（n，0）,

∵∠AOB=∠NMA=90°，

∴有兩種情況：

①當時，

∵，

∴

∴

∴=8-n

Rt△OAN中，

即

解得：n=3

∴n（3，0）

②當時，

∵NM∥AB

∴

∴

即N與原點O重合，

∴此時N（0，0）

綜合①②得，N點坐標是（3，0）或（0，0）．

（3）由（2）知，AC=，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8，0），
②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（，0）或（8＋4，0）；
③如圖，作AC的垂直平分線交AC于M，交x軸于N，

∴△AOC∽△NMC．
∴,即，
∴CN＝5．
∴此時N的坐標為（3，0），
綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（-8，0）、（8-4，0）、（3，0）、（8+4，0）.