Question

已知：AB為圓O的直徑，C，D為圓O上的點(diǎn)，C是優(yōu)弧ACD的中點(diǎn)，CE垂直DB交DB的延長線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，判斷直線CE與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若CE=4，BE=3，連BC，CD，求cos∠BCD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；運(yùn)用圓周角定理及其推論證明∠OCE=90°，即可解決問題．
（2）首先運(yùn)用切割線定理求出ED的長度；證明四邊形CEDF為矩形，得到CF=DE；證明OF為△ABD的中位線；求出AF、OF的長度；進(jìn)而求出OA的長度，即可解決問題．

解答： 解：（1）如圖，連接BC、AD、CO，延長CO交AD于點(diǎn)F；
則∠CBE=∠CAD；而C是優(yōu)弧ACD的中點(diǎn)，
∴

CD

=

CA

，
∴∠CBA=∠CDA=∠CAD，而∠CBE=∠CAD，∠CBA=∠OCB，
∴∠CBE=∠OCB；而CE⊥BE，
∴∠ECB+∠EBC=∠ECB+∠OCB=90°，
∴OC⊥CE，
即CE為⊙O的切線．
（2）∵CE為⊙O的切線，且CE=4，BE=3，
∴CE²=EB•ED，即4²=3•ED，
∴ED=

16

3

，BD=

16

3

-3=

7

3

；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，而∠E=∠OCE=90°，
∴四邊形CEDF為矩形，
∴OF⊥AD，AF=DF=CE=4，
∴OF為△ABD的中位線，
∴OF=

1

2

BD=

7

6

；由勾股定理得：
OA2=(

7

6

)2+42=

625

36

，
∴OA=

25

6

，
∴cos∠BAD=

AF

OA

=

24

25

，而∠BCD=∠BAD，
∴cos∠BCD=

24

25

．

點(diǎn)評：該題主要考查了切線的判定、圓周角定理及其推論、矩形的判定、垂徑定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握切線的判定、圓周角定理及其推論、矩形的判定、垂徑定理等幾何知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．