【題目】已知⊙O中,弦AB=AC,點P是∠BAC所對弧上一動點,連接PA,PB.
(1)如圖①,把△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACQ,連接PC,求證:∠ACP+∠ACQ=180°;
(2)如圖②,若∠BAC=60°,試探究PA、PB、PC之間的關(guān)系.
(3)若∠BAC=120°時,(2)中的結(jié)論是否成立?若是,請證明;若不是,請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,不需證明.
【答案】(1)證明見解析;(2)PA=PB+PC.理由見解析;(3)若∠BAC=120°時,(2)中的結(jié)論不成立, PA=PB+PC.
【解析】試題分析:(1)如圖①,連接PC.根據(jù)“內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì)”即可證得結(jié)論;
(2)如圖②,通過作輔助線BC、PE、CE(連接BC,延長BP至E,使PE=PC,連接CE)構(gòu)建等邊△PCE和全等三角形△BEC≌△APC;然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等和線段間的和差關(guān)系可以求得PA=PB+PC;
(3)如圖③,在線段PC上截取PQ,使PQ=PB,過點A作AG⊥PC于點G.利用全等三角形△ABP≌△AQP(SAS)的對應(yīng)邊相等推知AB=AQ,PB=PG,將PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到△APC中來求即可.
試題解析:(1)如圖①,連接PC.
∵△ACQ是由△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到的,
∴∠ABP=∠ACQ.
由圖①知,點A、B、P、C四點共圓,
∴∠ACP+∠ABP=180°(圓內(nèi)接四邊形的對角互補),
∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代換);
(2)PA=PB+PC.理由如下:
如圖②,連接BC,延長BP至E,使PE=PC,連接CE.
∵弦AB=弦AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形(有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形).
∵A、B、P、C四點共圓,∴∠BAC+∠BPC=180°(圓內(nèi)接四邊形的對角互補),
∵∠BPC+∠EPC=180°,∴∠BAC=∠CPE=60°,
∵PE=PC,∴△PCE是等邊三角形,∴CE=PC,∠E=∠ECP=∠EPC=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,∴∠BCE=∠ACP(等量代換),
在△BEC和△APC中, ,∴△BEC≌△APC(SAS),∴BE=PA,
∴PA=BE=PB+PC;
(3)若∠BAC=120°時,(2)中的結(jié)論不成立, PA=PB+PC.理由如下:
如圖③,在線段PC上截取PQ,使PQ=PB,過點A作AG⊥PC于點G.
∵∠BAC=120°,∠BAC+∠BPC=180°,∴∠BPC=60°.
∵弦AB=弦AC,∴∠APB=∠APQ=30°.
在△ABP和△AQP中, ,∴△ABP≌△AQP(SAS),
∴AB=AQ,PB=PQ(全等三角形的對應(yīng)邊相等),∴AQ=AC(等量代換).
在等腰△AQC中,QG=CG.
在Rt△APG中,∠APG=30°,則AP=2AG,PG=AG,
∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2AG,
∴PA=2AG,即PA=PB+PC.
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【題目】下列各組數(shù)中,可以構(gòu)成直角三角形的是( )
A. 2,3,5 B. 3,4,5 C. 5,6,7 D. 6,7,8
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【題目】某城市按以下規(guī)定收取每月的煤氣費:用氣不超過60立方米,按每立方米0.8元收費;如果超過60立方米,超過部分按每立方米1.2元收費,已知某用戶6月份煤氣費平均每立方米0.88元,那么,6月份這位用戶應(yīng)交煤氣費多少元?
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【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長為30m,寬為24m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,則人行通道的寬度為多少米.
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【題目】點(2,-3)關(guān)于y軸的對稱點是( )
A. (-2,3) B. (2,3) C. (-2,-3) D. (2,-3)
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【題目】如圖,題型ABCD中,AD∥BC,AD=CD=AD=2,∠B=60°,AH⊥BC于點H,且AH=,直線MN是梯形的對稱軸,P為直線MN上的一動點,則PC+PD的最小值為______.
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(1)求∠ECD的度數(shù);
(2)若CE=12,求BC長.
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【題目】將一塊長18米,寬15米的矩形荒地修建成一個花園(陰影部分)所占的面積為原來荒地面積的三分之二.(精確到0.1m)
(1)設(shè)計方案1(如圖1)花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.
(2)設(shè)計方案2(如圖2)花園中每個角的扇形都相同.
以上兩種方案是否都能符合條件?若能,請計算出圖1中的小路的寬和圖2中扇形的半徑;若不能符合條件,請說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.有一個內(nèi)角是銳角的三角形是銳角三角形B.鈍角三角形的三個內(nèi)角都是鈍角
C.有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形D.三條邊都相等的三角形稱為等腰三角形
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