Question

（12分）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點M為拋物線的頂點，且OC=OB．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過C、O兩點作⊙H交x軸于另一點D，交直線BC于另一點E，已知F（1.5，-1.5）（F與H不重合）．求：的值．

（3）若拋物線上有一點P，連PC交線段BM于Q點，且，求P點的坐標．

Answer 1

（1）；（2）；（3）（2，－3）.

【解析】

試題分析：（1）有拋物線求出C的坐標，由OC=OB，得到B的坐標，解關(guān)于m的一元二次方程即可得到m的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）根據(jù)已知得到△OCB是等腰直角三角形，得出∠OBC=45°，由CD為⊙H的直徑，得到△BED是直角三角形，從而得到△BED是等腰直角三角形，得到BD與ED的關(guān)系，根據(jù)作圖得到，F(xiàn)H是△CBD的中位線，得到FH和BD的關(guān)系，從而得到的值；

（3）首先確定出點C、M的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式，然后根據(jù)S△BPQ=S△CMQ時則S△BPC=S△BMC，利用等底同高的三角形的面積相等可知此時MP∥BC，然后根據(jù)互相平行的兩直線的解析式的k值相等以及點M的坐標求出直線MP的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求解即可得到點P的坐標．

試題解析：（1）在中，令，得：，∴OC=，

∵OC=OB，∴ OB=，∴B（，0），把B（，0）代入中，得到：，

∴，

∵，∴，∴；

（2）∵B（3，0），C（0，－3），F(xiàn)（1.5，－1.5），∴F為BC的中點，

∵H為CD的中點，∴FH為△CBD的中位線，∴FH=BD，

∵OC=OB，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，

∵CD為⊙H的直徑，∴∠CED=90°，∴△BED是等腰直角三角形，∴BD=ED，

∴FH=BD=ED，∴；

（3）∵點C坐標為（0，﹣3），M（1，﹣4），

設(shè)直線BC的解析式為，

則，解得：，

所以直線BC的解析式為，

∵S△BPQ=S△CMQ，∴S△BPQ+S△BCQ=S△CMQ+S△BCQ，即S△BPC=S△BMC，

∴點P到BC的距離等于點M到BC的距離，

∴MP∥BC，

設(shè)MP的解析式為，代入（1，－4）得：

則，解得，

所以，直線MP的解析式為，

聯(lián)立，

解得（為點M坐標），，

所以，點P的坐標為（2，﹣3）．

考點：二次函數(shù)綜合題．

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當(dāng)b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 考點2：圖形的相似 形狀相同，大小不同的兩個圖形相似 試題屬性

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