Question

已知：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，以O(shè)C為直徑作⊙M，如果過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P作⊙M的切線(xiàn)PD，切點(diǎn)為D，且與y軸的正半軸交點(diǎn)為E，連接MD，已知E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）延長(zhǎng)DM交⊙M于點(diǎn)N，連接ON，OD，當(dāng)點(diǎn)P在（2）的條件下運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，能使得四邊形EOMD和△DON的面積相等，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連接EM；由于ED、EO都是⊙M的切線(xiàn)，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得到ED=EO，根據(jù)SSS可證得△EDM≌△EOM，則它們的面積相等，因此四邊形EOMD的面積其實(shí)是△EOM的面積的2倍，以O(shè)M為底，OE為長(zhǎng)可求出△EOM的面積，即可得到四邊形EOMD的面積表達(dá)式；
（3）△DON中，MN=DM，所以△DMO和△OMN等底同高，它們的面積相等；由此可證得△EOM與△OMD的面積相等，由于這兩個(gè)三角形共用底邊OM，則ED∥x軸，根據(jù)⊙M的半徑即得到直線(xiàn)PD的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)過(guò)O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三點(diǎn)，
∴，
解得；
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線(xiàn)y=x²-4x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，0），連接EM；
∴⊙M的半徑為2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切線(xiàn)，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四邊形EOMD}=2S_△OME=2×OM•OE=2m；

（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×OM×y=2y，
當(dāng)S_{四邊形EOMD}=S_△DON時(shí)，即2m=2y，m=y；
∵m=y，ED∥x軸，
又∵ED為切線(xiàn)，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）；
∵P在直線(xiàn)ED上，故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2），
∵P在拋物線(xiàn)上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±；
∴P（2+，2）或P（2-，2）為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)△EOM、△OMD的面積關(guān)系，從而得到直線(xiàn)PD與x軸的位置關(guān)系是解答（3）題的關(guān)鍵．