Question

如圖1，菱形紙片ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC．

（Ⅰ）△EBC的面積為

 

cm²；
（Ⅱ）將三角形紙片EBC剪成三部分，使它們能拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片，請(qǐng)你在圖2中畫出拼接成的四邊形，并簡(jiǎn)要說明畫圖的方法（不要求證明）；
（Ⅲ）直接寫出拼成的四邊形紙片周長(zhǎng)的最小值為

 

cm，最大值為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）作BM⊥AD于點(diǎn)M，利用菱形的性質(zhì)求出高，即可求出△EBC的面積．
（2）利用中位線，把三角形分成三部分拼成一個(gè)平行四邊形，
（3）由拼成的平行四邊形，其上下兩條邊的長(zhǎng)度等于原來菱形的邊AB=4，左右兩邊的長(zhǎng)等于線段MN的長(zhǎng)，①當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長(zhǎng)度最短，②，原圖中當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)得到的△EBC，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN最長(zhǎng)，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)最大，求出周長(zhǎng)的值即可．

解答：解：（1）如圖1，作BM⊥AD于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=4cm
∴∠A=60°，
在RT△AMB中，BM=2

3

，
∴△EBC的面積=

1

2

BC•BM=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
故答案為：4

3

．
（2）如圖2，作△BEC的一條中位線GH，在GH和BC上任找一點(diǎn)M，N連接MN，

梯形GBNM繞G點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)180°，得到梯形GB′N′M′，梯形HCNM繞H點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)180°，得到梯形HM″N″C′，
可得四邊形M′M″N″N′是平行四邊形．
（3）通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長(zhǎng)度等于原來菱形的邊AB=4，左右兩邊的長(zhǎng)等于線段MN的長(zhǎng)，
①當(dāng)MN垂直于BC時(shí)，其長(zhǎng)度最短，等于原來菱形的高的一半，即MN=

3

，
所以這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)的最小值為2（

3

+4）=2

3

+8；
②如圖3，原圖中當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)得到的△EBC，點(diǎn)M與點(diǎn)G重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，線段MN最長(zhǎng)，此時(shí)，這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)最大，

如圖4，作MQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∵BE=4，BC=4，∠EBC=120°，
∴BM=

1

2

BE=2，∠MBQ=60°，
在RT△MQB中，QB=1，MQ=

3

，
∴QN=4+1=5，
∴在RT△MQN中，
MN=

MQ2+QN2

=

52+3

=2

7

，
∴四邊形紙片周長(zhǎng)的最大值為，8+2MN=8+4

7

．
故答案為：2

3

+8，8+4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是利用中位線把三角形分成的三部分拼成平行四邊形，求拼成的四邊形的最大周長(zhǎng)是個(gè)難點(diǎn)．