Question

如圖，直線y=-x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P為雙曲線y=

6

x

（x＞0）上一點(diǎn)，PC⊥x軸于C，交AB于點(diǎn)N，PD⊥y軸于D交AB于點(diǎn)M．
（1）求證：OA=OB；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，AM•BN的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由直線y=-x+4，分別令x與y為0求出A與B坐標(biāo)，確定出OA與OB的長，即可得證；
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，AM•BM的值不發(fā)生變化，其值為12，理由為：設(shè)P（m，n）（m＞0，n＞0），根據(jù)題意表示出M與N坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出AM與BN，即可求出不變的值．

解答：（1）證明：對于直線y=-x+4，
令x=0，得到y(tǒng)=4，即B（0，4）；
令y=0，得到x=4，即A（4，0），BN，
則OA=OB=4；
（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，AM•BM的值不發(fā)生變化，其值為12，理由為：
設(shè)P（m，n）（m＞0，n＞0），
∵直線y=-x+4的斜率為-1，即傾斜角為135°，
∴∠CAN=45°，即△ACN為等腰直角三角形，
∴CN=CA=OA-OC=4-m，
同理△BDM為等腰直角三角形，即DM=BD=OB-OD=4-n，
∴N（m，4-m），M（4-n，n），
∴BN=

m2+(4-m-4)2

=

2

m，AM=

(4-n-4)2+n2

=

2

n，
∴AM•BN=2mn，
∵P在y=

6

x

上，
∴mn=6，
則AM•BN=2mn=12．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解本題第二問的關(guān)鍵．