Question

關(guān)于m和n的方程5m²-6mn+7n²=2011是否存在整數(shù)解？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組解來(lái)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：假設(shè)此方程有整數(shù)解．
化5m²-6mn+7n²=2011為：4m²+（m-3n）²-2n²=2011，
又∵2011是奇數(shù)，
∴只有m-3n是奇數(shù)，
若n是偶數(shù)，則m就是奇數(shù)．
又∵奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方除以8余0或4，
∴4m²+（m-3n）²-2n²除以8的余數(shù)為4+1-0=5；
∵2011除以8余3．
∴這是一個(gè)矛盾；
∴m可能為是偶數(shù)，n就是奇數(shù)，
∵解原方程：m=

6n± 36n2-20(7n2-2011)

10

=

3n± 10055-26n2

5

①，
∵m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，
∴10055-26n²＞0，且是個(gè)平方數(shù)，
∴n²＜387，
即n≤19，
然后將n=1，3，5，…，19代入①求解，
但無(wú)符合條件的值．
∴這也是一個(gè)矛盾．
∴原方程無(wú)整數(shù)解．