Question

已知：如圖，△ABC為等邊三角形，AB=，AH⊥BC，垂足為點H，點D在線段HC上，且HD=2，點P為射線AH上任意一點，以點P為圓心，線段PD的長為半徑作⊙P，設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)x=3時，求⊙P的半徑長；
（2）如圖1，如果⊙P與線段AB相交于E、F兩點，且EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△PHD與△ABH相似，求x的值（直接寫出答案即可）．

Answer 1

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴，∠B=60°．
又∵，AH⊥BC，
∴．
即得PH=AH-AP=6-x=3．
在Rt△PHD中，HD=2，
利用勾股定理，得．
∴當(dāng)x=3時，⊙P的半徑長為．

（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．
在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．
利用勾股定理，得．
∵△ABC為等邊三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH=30°．即得．
在⊙P中，PE=PD．
∵PM⊥EF，P為圓心，
∴．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．
即得．
∴所求函數(shù)的解析式為，
定義域為．

（3）∵①△PHD∽△ABH，則有，
，
解得：PH=，
∴x=AP=6-，
當(dāng)P在AH的延長線上時，x=6+；
②當(dāng)△PHD∽△AHB時，，
即，
解得：PH=2，
∴x=AP=6-2，
當(dāng)P在AH的延長線上時，x=6+2；
，，，．
分析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴，∠B=60°．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH=AH-AP=6-x=3．利用勾股定理即可證明；
（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM²+EM²=PE²．從而可求出答案；
（3）△PHD與△ABH相似，則有，代入各線段的長短即可求出x的值．
點評：本題考查了相似三角形及等腰三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)及勾股定理的運用．