【題目】我們規(guī)定:三角形任意兩邊的“極化值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差.如圖1,在△ABC中,AOBC邊上的中線,ABAC的“極化值”就等于AO2BO2的值,可記為ABAC=AO2BO2

1)在圖1中,若∠BAC=90°,AB=8AC=6,AOBC邊上的中線,則ABAC= OCOA=

2)如圖2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求ABAC、BABC的值;

3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AOBC邊上的中線,點(diǎn)NAO上,且ON=AO.已知ABAC=14BNBA=10,求△ABC的面積.

【答案】10,7;(2)﹣8,24;(3

【解析】試題分析:(1)①先根據(jù)勾股定理求出BC=10,再利用直角三角形的性質(zhì)得出OA=OB=OC=5,最后利用新定義即可得出結(jié)論;

②再用等腰三角形的性質(zhì)求出CD=3,再利用勾股定理求出OD,最后用新定義即可得出結(jié)論;

2)①先利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AO=2,OB=,再用新定義即可得出結(jié)論;

②先構(gòu)造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定義即可得出結(jié)論;

3)先構(gòu)造直角三角形,表述出OA,BD2,最后用新定義建立方程組求解即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)①∵∠BAC=90°,AB=8AC=6,∴BC=10

∵點(diǎn)OBC的中點(diǎn),∴OA=OB=OC=BC=5,∴ABAC=AO2BO2=2525=0

②如圖1,取AC的中點(diǎn)D,連接OD,∴CD=AC=3,

OA=OC=5,∴ODAC,

RtCOD中,OD==4,∴OCOA=OD2CD2=169=7,

故答案為:0,7;

2)①如圖2,取BC的中點(diǎn)D,連接AO,∵AB=AC,∴AOBC

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,

RtAOB中,AB=4,∠ABC=30°,∴AO=2OB=,

ABAC=AO2BO2=412=﹣8

②取AC的中點(diǎn)D,連接BD,∴AD=CD=AC=2,過點(diǎn)BBEACCA的延長線于E,在RtABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,

AB=4,∴AE=2,BE=,∴DE=AD+AE=4,

RtBED中,根據(jù)勾股定理得,BD= ==,

BABC=BD2CD2=24;

3)如圖3,設(shè)ON=xOB=OC=y,∴BC=2yOA=3x,

ABAC=14,∴OA2OB2=14,∴9x2y2=14①,

AN的中點(diǎn)D,連接BD,∴AD=DB=AN=×OA=ON=x,∴OD=ON+DN=2x,

RtBOD中,BD2=OB2+OD2=y2+4x2,∵BNBA=10

BD2DN2=10,∴y2+4x2x2=10,∴3x2+y2=10

聯(lián)立①②得: (舍),∴BC=4,OA=,∴SABC=BC×AO=

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1)若AP=1,則AE= ;

2)①求證:點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上;

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B時,點(diǎn)O也隨之運(yùn)動,求點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長;

3)在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中,△APE的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動,求該圓心到AB邊的距離的最大值.

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(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且∠BDA=AEC=BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用:如圖3,D、ED、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)

互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且ABFACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=AEC=BAC,試判斷DEF的形狀.

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