Question

已知兩個二次方程x²+ax+b=0與x²+cx+d=0有一個公共根為1，求證：二次方程也有一個根為1．

Answer 1

證明：∵x=1是方程x²+ax+b=0和x²+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2 ①
把①代入方程x²+x+=0，
得：x²+x-1-=0，
（x²-1）+（x-1）=0，
（x-1）（x+1+）=0，
∴x₁=1，x₂=1+．
故二次方程x²+x+=0也有一個公共根為1．
分析：本題是一道證明題，因為x=1是這兩個方程的公共根，所以它必須同時滿足這兩個方程，得到字母系數(shù)a，b，c，d之間的關系，然后利用它們之間的關系就可以證明．
點評：本題考查的是一元二次方程的解，由方程的解確定字母系數(shù)之間的關系，利用它們之間的關系加以證明．