Question

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱.

1.求拋物線的解析式；

2.求證：∠CFE=∠AFE；

3.在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似，若有，請求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.

2.見解析

3.見解析

【解析】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

則：……………………………………1分

解得…………………………………2分

∴ 此拋物線的解析式為 ……………3分

（2）過點(diǎn)A作AM∥x軸，交FC于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)N.

∵拋物線的解析式可變形為

∴拋物線對稱軸是直線x =4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，－2）.則AN=4.

設(shè)直線AC的解析式為,

則有，解得.

∴  直線AC的解析式為…………………………………4分

當(dāng)x=4時(shí)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4），

∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對稱，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，－8）

設(shè)直線FC的解析式為,

則有，解得.

∴  直線AC的解析式為………………………………5分

∵AM與x軸平行，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.

當(dāng)y=6時(shí)，則有解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE……………………………………………………6分

（3）∵C的坐標(biāo)為（7，），F(xiàn)坐標(biāo)為（4，－8）

∴

∵又A的坐標(biāo)為（0，6），則，…………………7分

又DF=6，

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，

又由（2）可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

則,即,解得P1A=8.

∴O P1=8－6=2

∴P1的坐標(biāo)為（0，－2）…………………………………………………8分

若△AFP2∽△FDC

則,即,解得P2A=.

∴O P2=－6=.

∴P2的坐標(biāo)為（0，－）………………………………………………9分

所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)不兩個(gè)，分別是P1（0，－2），P2（0，－）.