Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點O在矩形上方，點B繞著點O逆時針旋轉60°后的對應點為點C．
（1）畫出點A繞著點O逆時針旋轉60°后的對應點E；
（2）連接CE，證明：CO平分∠ECD
（3）在（1）（2）的條件下，連接ED，猜想ED與CO的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）以點O為圓心，畫出矩形ABCD繞點O逆時針旋轉90°的位置，然后即可得解；
（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠AOE=∠BOC=60°，AO=EO，BO=CO，再求出∠AOB=∠EOC，然后利用“邊角邊”證明△0AB和△OEC全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABO=∠ECO，再求出∠ECO=∠DCO=30°，從而得證；
（3）先求出EC=CD，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．

解答：解：（1）點E如圖所示；
（2）由題意可知：∠AOE=∠BOC=60°，AO=EO，BO=CO，
∴∠AOE-∠BOE=∠BOC-∠BOE，
即∠AOB=∠EOC，
在△0AB和△OEC中，

AO=EO ∠AOB=∠EOC BO=CO

，
∴△0AB≌△OEC（SAS），
∴∠ABO=∠ECO，
∵∠BOC=60°，BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABO=90°-60°=30°，
∴∠ABO=∠ECO=30°，
∴∠DCO=∠BCD-∠ECO=90°-60°=30°，
∴∠ECO=∠DCO，
故CO平分∠ECD；

（3）猜想：CO垂直平分ED．
證明：∵△0AB≌△OEC，
∴AB=EC=CD，
又∵CO平分∠ECD，
∴CO垂直平分ED．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，根據(jù)角的度數(shù)相等得到角相等是求解的關鍵．