Question

已知：直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，與x軸交于D，拋物線y=

1

2

x²+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為 （1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AE上一動點，當△PBC周長最小時，求點P坐標；
（3）動點Q在x軸上移動，當△QAE是直角三角形時，求點Q的坐標；
（4）在y軸上是否存在一點M，使得點M到C點的距離與到直線AD的距離恰好相等？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，求得點A的坐標，再利用B點的坐標利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）求出點C關(guān)于直線AE的對稱點F的坐標，然后求出直線BF的解析式后求與直線AE的交點坐標即可；
（3）設(shè)出P點的坐標，然后表示出AP、EP的長，求出AE的長，利用勾股定理得到有關(guān)P點的橫坐標的方程，求得其橫坐標即可；
（4）設(shè)出M點的坐標，利用C點的距離與到直線AD的距離恰好相等，得到有關(guān)M點的縱坐標的方程解得M點的縱坐標即可．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+2與y軸交于A，
∴A點的坐標為（0，2），
∵B點坐標為 （1，0）．
∴

c=2 1 2 +b+c=0

∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；

（2）作出C關(guān)于直線AE的對稱點F，由B和F確定出直線BF，與直線AE交于P點，
利用△DFC面積得出F點縱坐標為：

16

5

，
∴利用勾股定理得出

2

5

，
∴F（

4

5

，

32

5

），
∴直線BF的解析式為：y=-32x+32，
，
可得：P（

12

13

，

32

13

）；

（3）根據(jù)題意得：

1

2

x+2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
解得：x=0或x=6，
∴A（0，2），E（6，5），
∴AE=3

5

，
設(shè)Q（x，0），
①若Q為直角頂點，
則AQ²+EQ²=AE²，
即x²+4+（x-6）²+25=45，
此時x無解；
②若點A為直角頂點，
則AQ²+AE²=EQ²，
即x²+4+45=（x-6）²+25，
解得：x=1，
即Q（1，0）；
③若E為直角頂點，
則AQ²=AE²+EQ²，
即x²+4=45+（x-6）²+25，
解得：x=

51

6

=

17

2

，
此時求得Q（

17

2

，0）；
∴Q（1，0）或（

17

2

，0）

（4）假設(shè)存在，設(shè)M坐標為（0，m），則OM=|m|，
此時MD⊥AD，
∵OC=4，AO=2，OD=4，
∴在直角三角形AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=2

5

，且AM=2-m，CM=

m2+16

，
∵MD=MC，
∴根據(jù)勾股定理得：

AM2-AD2

=

OC2+OM2

，
即（2-m）²-（2

5

）²=m²+16，
解得m=-8，
則M（0，-8）．

點評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．