Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ABC的角平分線BE交CD于G，交AC于E，GF∥AB交AC于F．求證：AF=CG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：分別過G、F作GH⊥BC，F(xiàn)I⊥AB，垂足分別為H、I，由條件證明△AFI≌△CGH即可．

解答：證明：分別過G、F作GH⊥BC，F(xiàn)I⊥AB，垂足分別為H、I，
∵CD⊥AB于D，GF∥AB，
∴四邊形DGFI為矩形，
∴FI=GD，
∵BE平分∠ABC，
∴GD=GH，
∴FI=GH，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCH+∠ACD=90°，
且∠A+∠ACD=90°，
∴∠FAI=∠GCH，
在△AFI和△CGH中，

∠FAI=∠GCH ∠AIF=∠GHC=90° FI=GH

，
∴△AFI≌△CGH（AAS），
∴AF=CG．

點評：本題主要考查三角形全等判定和性質(zhì)，分別過G、F作GH⊥BC，F(xiàn)I⊥AB，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．