Question

已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∴∠AEF=180°-∠BOD-∠AOE=180°-30°-60°=90°，
∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，
∴OD=AD=×2=1，
∴AO===，
∴AE=CF=×=，
∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，
∴高EF=2×=，
在Rt△CEF中，CE===．
分析：（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．
點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．