Question

如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P為AD邊上一點(diǎn)，PC的垂直平分線交PC于E交CB的延長(zhǎng)線于F，連接PF交AB于G，連接CG．
（1）如圖1，求證：GC平分∠PGB；
（2）如圖2連接AN，試判斷線段PC與AN的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥FP于點(diǎn)H，然后求出∠CHP=∠CHG=90°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得FC=FP，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠FPC=∠FCP，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DPC=∠FCP，從而得到∠FPC=∠DPC，再利用“角角邊”證明△CPH和△CPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CH=CD，再求出CH=BC，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可；
（2）連接PN，根據(jù)（1）得到△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，然后求出∠GCP=

1

2

∠DCB=45°，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得NC=NP，然后判斷出△NCP是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PC=

2

CN，連接DN，作NK⊥DN交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，根據(jù)同角的余角相等求出∠PND=∠CNK，表示出∠NPD=∠NCK=135°-∠PCD，然后利用“角邊角”證明△NPD和△NCK全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得NK=ND，然后求出∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，再利用“邊角邊”證明△NAD和△NCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得NC=NA，從而得證．

解答：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥FP于點(diǎn)H，
∴∠CHP=∠CHG=90°，
∵FE⊥平分PC，
∴FC=FP，
∴∠FPC=∠FCP，
∵正方形ABCD，
∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DPC=∠FCP，
∴∠FPC=∠DPC，
在△CPH和△CPD中，

∠FPC=∠DPC ∠D=∠CHP=90° CP=CP

，
∴△CPH≌△CPD（AAS），
∴CH=CD，
∵BC=CD，
∴CH=BC，
又∵AB⊥BC，CH⊥CP，
∴GC平分∠PGB；

（2）解：如圖2，連接PN，由（1）知△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，
∴∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，
∴∠GCP=

1

2

∠DCB=45°，
∵FE⊥平分PC，
∴NC=NP，
∴△NCP是等腰直角三角形，
∴PC=

2

CN，PN=CN，
連接DN，作NK⊥DN交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，
則∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°，
∴∠PND=∠CNK，
∵∠NPD=45°+（90°-∠PCD）=135°-∠PCD，
∠NCK=180°-45°-∠PCD=135°-∠PCD，
∴∠NPD=∠NCK，
在△NPD和△NCK中，

∠PND=∠CNK PN=CN ∠NPD=∠NCK

，
∴△NPD≌△NCK（ASA），
∴NK=ND，
∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，
在△NAD和△NCD中，

AD=CD ∠NDK=∠NDA DN=DN

，
∴△NAD≌△NCD（SAS），
∴NC=NA，
∴PC=

2

AN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，綜合性較強(qiáng)，難度較大，關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形．