【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D為AC延長線上一點,AC=3CD,過點D作DH∥AB,交BC的延長線于點H.
(1)求BD·cos∠HBD的值;
(2)若∠CBD=∠A,求AB的長.
【答案】(1)BD·cos∠HBD=4;(2)AB=6.
【解析】試題分析:本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),(1)在Rt△BHD中,BH即為BD·cos∠HBD的值,根據(jù)三角形相似可得AD與DC等于BC與HC之比,已知BC=3,即可求得BH的長,(2)根據(jù)三角形相似建立兩個等量關(guān)系和,再根據(jù)已知邊長求得AB和DH的關(guān)系為AB=3DH,代入其中一個等式求得邊長DH,即可得到另一個邊長AB.
解:(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△DHC,∴ =.
∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.
在Rt△BHD中,cos ∠HBD=.
∴BD·cos∠HBD=BH=4.
(2)方法一:
∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,
∴△ABC∽△BHD,
∴=.
∵△ABC∽△DHC,
∴==,∴AB=3DH,
∴=,DH=2,∴AB=6.
方法二:
∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,
∴△CDB∽△BDA,
∴=,BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.
∴BD=2CD.
∵△CDB∽△BDA,∴ =.∴=.
∴AB=6.
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D.﹣(x﹣6)=﹣x+6
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A.7
B.8
C.9
D.10
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(1)一1→三2→二4→四3→五1
(2)五3→二1→二3→一5→三4
(3)四5→四1→一2→三3→五2.
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