Question

如圖1，已知四邊形ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接BG交AC于F，過(guò)F作FH∥CD交BC于H，可以證明結(jié)論成立．（考生不必證明）
（1）探究：如圖2，上述條件中，若G在CD的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）計(jì)算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直線CD上，且CG=16，連接BG交AC所在的直線于F，過(guò)F作FH∥CD交BC所在的直線于H，求BG與FG的長(zhǎng)．
（3）發(fā)現(xiàn)：通過(guò)上述過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí)，結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

【答案】分析：（1）借助中間比進(jìn)行證明，根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個(gè)比都等于即可；
（2）首先應(yīng)畫(huà)出兩個(gè)不同的圖形進(jìn)行分析．構(gòu)造30°的直角三角形，然后計(jì)算兩條直角邊的長(zhǎng)，在兩種情況中，GQ=16+3=19或16-3=13，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算BG的長(zhǎng)，進(jìn)一步根據(jù)比例式求得FG的長(zhǎng)；
（3）成立，根據(jù)（2）中的過(guò)程，可以分別求得左右兩個(gè)比，從而證明結(jié)論．
解答：解：（1）結(jié)論成立
證明：由已知易得FH∥AB，
∴，
∵FH∥GC，
∴．

（2）∵G在直線CD上，
∴分兩種情況討論如下：
①G在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DG=10，
如圖1，過(guò)B作BQ⊥CD于Q，
由于四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，
∴BQ=3，CQ=3，
∴BG=．
又由FH∥GC，可得，
而△CFH是等邊三角形，
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，
∴，
∴FH=，
由（1）知，
∴FG=．
②G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CG=16，
如圖2，過(guò)B作BQ⊥CG于Q，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．
∴BQ=3，CQ=3．
∴BG==14．
又由FH∥CG，可得，
∴．
∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6，
∴FH=．
∵FH∥CG，
∴．
∴BF=14×÷16=．
∴FG=14+．

（3）G在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，，
，
∴成立．
結(jié)合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時(shí)，結(jié)論還成立．
點(diǎn)評(píng)：證明比例式的時(shí)候，可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明．