【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),動點(diǎn)M,N分別從O,B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運(yùn)動.其中,點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動.過點(diǎn)M作MP⊥OA,交AC于P,連接NP,已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒.
(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少(用含x的代數(shù)式表示);
(2)試求△NPC面積S的表達(dá)式,并求出面積S的最大值及相應(yīng)的x值;
(3)當(dāng)x為何值時,△NPC是一個等腰三角形?簡要說明理由.
【答案】(1)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,3﹣x).
(2)S的最大值為,此時x=2.
(3)x=,或x=,或x=.
【解析】
試題分析:(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo),也就是求OM和PM的長,已知了OM的長為x,關(guān)鍵是求出PM的長,方法不唯一,①可通過PM∥OC得出的對應(yīng)成比例線段來求;
②也可延長MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根據(jù)CQ的長和∠ACB的正切值求出PQ的長,然后根據(jù)PM=AB﹣PQ來求出PM的長.得出OM和PM的長,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)可按(1)②中的方法經(jīng)求出PQ的長,而CN的長可根據(jù)CN=BC﹣BN來求得,因此根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S,x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)本題要分類討論:
①當(dāng)CP=CN時,可在直角三角形CPQ中,用CQ的長即x和∠ABC的余弦值求出CP的表達(dá)式,然后聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值;
②當(dāng)CP=PN時,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的長,然后根據(jù)QN=CN﹣CQ求出QN的表達(dá)式,根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的值.
③當(dāng)CN=PN時,先求出QP和QN的長,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的長,聯(lián)立CN的表達(dá)式即可求出x的值.
試題解析:(1)過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q,
有題意可得:PQ∥AB,
∴△CQP∽△CBA,
∴
∴
解得:QP=x,
∴PM=3﹣x,
由題意可知,C(0,3),M(x,0),N(4﹣x,3),
P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,3﹣x).
(2)設(shè)△NPC的面積為S,在△NPC中,NC=4﹣x,
NC邊上的高為,其中,0≤x≤4.
∴S=(4﹣x)×x=(﹣x2+4x)
=﹣(x﹣2)2+.
∴S的最大值為,此時x=2.
(3)延長MP交CB于Q,則有PQ⊥BC.
①若NP=CP,
∵PQ⊥BC,
∴NQ=CQ=x.
∴3x=4,
∴x=.
②若CP=CN,則CN=4﹣x,PQ=x,CP=x,4﹣x=x,
∴x=;
③若CN=NP,則CN=4﹣x.
∵PQ=x,NQ=4﹣2x,
∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2,
∴(4﹣x)2=(4﹣2x)2+(x)2,
∴x=.
綜上所述,x=,或x=,或x=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),且AE∥CD,CE∥AB.
(1)四邊形ADCE是菱形;
(2)若∠B=60°,BC=6,求菱形ADCE的高.(計(jì)算結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是邊AB的中點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,CD平分∠ACB.
(1)求證:∠1=∠2.
(2)過點(diǎn)M作AB的垂線交CD的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)AE,BE.求證:CM=EM.
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【題目】有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,則下列式子中正確的是( )
A.a>b
B.|a﹣c|=a﹣c
C.﹣a<﹣b<c
D.|b+c|=b+c
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【題目】體育老師對甲、乙兩名同學(xué)分別進(jìn)行了8次跳高測試,經(jīng)計(jì)算這兩名同學(xué)成績的平均數(shù)相同,甲同學(xué)的方差是S甲2=6.4,乙同學(xué)的方差是S乙2=8.2,那么這兩名同學(xué)跳高成績比較穩(wěn)定的是同學(xué).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個命題:
①若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別互相垂直,則這兩個角互補(bǔ);
②邊數(shù)相等的兩個正多邊形一定相似;
③等腰三角形ABC中,D是底邊BC上一點(diǎn),E是一腰AC上的一點(diǎn),若∠BAD=60°且AD=AE,則∠EDC=30°;
④任意三角形的外接圓的圓心一定是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).
其中正確命題的序號為 .
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【題目】如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當(dāng)點(diǎn)A在四邊形BCDE的外部時,記∠AEB為∠1,∠ADC為∠2,則∠A、∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系,結(jié)論正確的是( )
A. ∠1=∠2+∠A B. ∠1=2∠A+∠2
C. ∠1=2∠2+2∠A D. 2∠1=∠2+∠A
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn),將△BCD沿直線CD折疊,使點(diǎn)B恰好落在邊OA上的點(diǎn)E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求OE的長及經(jīng)過O,D,C三點(diǎn)拋物線的解析式;
(2)一動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿CB以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā),沿EC以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時,兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,DP=DQ;
(3)若點(diǎn)N在(1)中拋物線的對稱軸上,點(diǎn)M在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N,使M,N,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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