【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動(dòng),分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時(shí)m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4;(2)PM=﹣m2+4m(0<m<3);(3)存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似,此時(shí)m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形.
【解析】試題分析:(1)將A(3,0),C(0,4)代入y=ax2-2ax+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo),用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo),即可得到PM的長;
(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F和E對應(yīng),則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí),分兩種情況進(jìn)行討論:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求出m的值.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),
∴,
解得.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4;
(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵A(3,0),點(diǎn)C(0,4),
∴,
解得.
∴直線AC的解析式為y=-x+4.
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-m+4),
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線y=-x2+x+4上,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,-m2+m+4),
∴PM=PE-ME=(-m2+m+4)-(-m+4)=-m2+4m,
即PM=-m2+4m(0<m<3);
(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似.理由如下:由題意,可得AE=3-m,EM=-m+4,CF=m,若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似,情況:
①P點(diǎn)在CD上方,則PF=-m2+m+4-4=-m2+m.
若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,
即(-m2+m):(3-m)=m:(-m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=;
②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,
即m:(3-m)=(-m2+m):(-m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
綜上所述,存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.此時(shí)m的值為或1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,矩形CDEF的邊CD在CB上,且5CD=3CB,邊CF在軸上,且CF=2OC-3,反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)是____
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【題目】如圖,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn),.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)觀察圖象,直接寫出不等式的解集;
(3)若點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)周長最小時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖,點(diǎn) E,F 是ABCD 對角線上兩點(diǎn),在條件①DE=BF;②∠ADE=∠CBF; ③AF=CE;④∠AEB=∠CFD 中,添加一個(gè)條件,使四邊形 DEBF 是平行四邊形,可添加 的條件是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【題目】書店舉行購書優(yōu)惠活動(dòng):
①一次性購書不超過100元,不享受打折優(yōu)惠;
②一次性購書超過100元但不超過200元,一律按原價(jià)打九折;
③一次性購書超過200元,一律按原價(jià)打七折.
小麗在這次活動(dòng)中,兩次購書總共付款229.4元,第二次購書原價(jià)是第一次購書原價(jià)的3倍,那么小麗這兩次購書原價(jià)的總和是_________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C,且與直線l2:交于點(diǎn)A.
(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)
(2)若D是線段OA上的點(diǎn),且△COD的面積為12,求直線CD的解析式
(3)在(2)的條件下,設(shè)P是射線CD上的點(diǎn),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以O(shè)、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】某人出去散步,從家里出發(fā),走了20min,到達(dá)一個(gè)離家900m的閱報(bào)亭,看了10min報(bào)紙后,用了15min返回家里,下面圖象中正確表示此人離家的距離y(m)與時(shí)間x(min)之家關(guān)系的是( )
A. B.
C. D.
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【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為底邊分別作等腰三角形ABF和ADE,連接EB.
(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)(如圖1),以邊AB、AD為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE,連接EB、FD,線段EB和FD的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖2),以邊AB、AD為斜邊分別向內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE,連接EF、BD,線段EF和BD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請加以證明;
(3)當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)(如圖3),以邊AB、AD為斜邊分別向平行四邊形內(nèi)測、外側(cè)作等腰直角三角形ABF和ADE,且△EAD與△FBA的頂角都為α,連接EF、BD,交點(diǎn)為G,請用α表示出∠EGD,并說明理由.
圖1 圖2 圖3
【答案】(1)EF=BD;(2)EF=BD;(3)
【解析】分析:(1)正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE,由全等三角形的性質(zhì)即可得到EB=FD;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,再證得∠BAD=∠FAE,即可判定△BAD∽△FAE ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,即可得;(3),先證△BFA∽△DEA,即可得,
再證得,所以△BAD∽△FAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得,再由∠AHE=∠DHG,即可得.
詳解:(1)EF=BD,
理由如下:
四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,
∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中, ,
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EF=BD.
證明:∵△AFB為等腰直角三角形
∴,∠FAB=45°
同理: ,∠EAD=45° ∴∠BAD+∠FAD=∠EAD+∠DAF
即∠BAD=∠FAE
∵, ∴
∴△BAD∽△FAE ∴
即:
(3)解:
∵△AFB為等腰直角三角形,∴FB=FA,
同理:ED=EA,∴,
又∵ ,∴△BFA∽△DEA,
∴,
∴,
∴,
∴△BAD∽△FAE,
∴,
又∵∠AHE=∠DHG,
∴.
點(diǎn)睛:本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等腰直角三角形的先證、相似三角形的判定和性質(zhì),題目的綜合性很強(qiáng),難度也不小,解題的關(guān)鍵是對特殊幾何圖形的性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握.
【題型】解答題
【結(jié)束】
27
【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4).連接BC.
(1)求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)P.
①如圖1,求線段MN長度的最大值;
②如圖2,連接AM,QN,QP.試問:拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得與的面積相等,且線段NQ的長度最小?如果存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(a ,2)是直線y=x上一點(diǎn),以A為圓心,2為半徑作⊙A,若P(x,y)是第一象限內(nèi)⊙A上任意一點(diǎn),則的最小值為( )
A. 1 B. C. —1 D.
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