Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),直線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)且與軸垂直,垂足為.

1.求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

2.設(shè)拋物線上有一動點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動,其縱坐標(biāo)隨時間

≥)的變化規(guī)律為.現(xiàn)以線段為直徑作.

①當(dāng)點(diǎn)在起始位置點(diǎn)處時,試判斷直線與的位置關(guān)系,并說明理由；在點(diǎn)運(yùn)動的過程中,直線與是否始終保持這種位置關(guān)系? 請說明你的理由；

②若在點(diǎn)開始運(yùn)動的同時,直線也向上平行移動,且垂足的縱坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律為,則當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時,直線與相交? 此時,若直線被所截得的弦長為,試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 

1.將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得,解得,

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為

2.①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時,直線與相切,理由如下:

∵點(diǎn),∴圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為,

又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,－1),即直線l上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為－1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線與相切. 

在點(diǎn)運(yùn)動的過程中,直線與始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下:

方法一: 設(shè)點(diǎn),則圓心的坐標(biāo)為,∴圓心C到直線l的距離為,又∵,∴,則的半徑為,

∴直線與始終相切.  

方法二: 設(shè)點(diǎn)≥1),則圓心的坐標(biāo)為,

∴的半徑為,

而圓心C到直線l的距離為,

∴直線與始終相切

②由①知,圓C的半徑為.

又∵圓心C的縱坐標(biāo)為,直線l上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以

(ⅰ)當(dāng)≥,即≤時,圓心C到直線l的距離為

,則由,得,解得,

∴此時≤；

(ⅱ)當(dāng)＜,即＞時,圓心C到直線l的距離為

,則由,得,解得,

∴此時＜； 

綜上所述,當(dāng)時,直線與相交. 

(說明: 若學(xué)生就寫成≤或＜,得全分；若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分)

∵當(dāng)時,圓心C到直線l的距離為,又半徑為,

∴,  

∴當(dāng)時, 取得最大值為.

【解析】

1.所求函數(shù)的解析式中有兩個待定系數(shù)，直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．

2.①由于OP是⊙C的直徑，根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關(guān)系．

②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點(diǎn)C的位置關(guān)系（需要考慮到C到直線l的表達(dá)方式）．

在第二問中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長（為直徑），此時圓心C應(yīng)在直線l上，根據(jù)該思路即可得解．