Question

已知xyz=1，x+y+z=2，x²+y²+z²=16．則

1

xy+2z

+

1

yz+2x

+

1

zx+2y

=

 

．

Answer 1

考點：分式的化簡求值

專題：計算題

分析：由已知x+y+z=2，兩邊平方整理可得xy+yz+xz=-6，又z=2-x-y，所以，可得

1

xy+2z

=

1

xy+4-2x-2y

=

1

(x-2)(y-2)

，同理可得，

1

yz+2x

=

1

(y-2)(z-2)

，

1

zx+2y

=

1

(z-2)(x-2)

，代入原式，整理即可得出；

解答：解：∵x+y+z=2，兩邊平方得，
x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=4，
∵x²+y²+z²=16，
∴xy+yz+xz=-6，
又∵z=2-x-y，
∴

1

xy+2z

=

1

xy+4-2x-2y

=

1

(x-2)(y-2)

，
同理得，

1

yz+2x

=

1

(y-2)(z-2)

，

1

zx+2y

=

1

(z-2)(x-2)

，
∴

1

xy+2z

+

1

yz+2x

+

1

zx+2y

，
=

1

(x-2)(y-2)

+

1

(y-2)(z-2)

+

1

(z-2)(x-2)

，
=

(z-2)+(x-2)+(y-2)

(x-2)(y-2)(z-2)

，
=

x+y+z-6

xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8

，
=

2-6

1+12+8-8

，
=-

4

13

；
故答案為：-

4

13

．

點評：本題主要考查了分式的化簡求值，熟記分式的基本性質(zhì)，是正確解答本題的關鍵．