Question

【題目】已知頂點為A（2，﹣1）的拋物線經(jīng)過點B（0，3），與x軸交于C、D兩點（點C在點D的左側(cè)）；
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）聯(lián)結(jié)AB、BD、DA，求△ABD的面積；
（3）點P在x軸正半軸上，如果∠APB=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵頂點為A（2，﹣1）的拋物線經(jīng)過點B（0，3），

∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

把（0，3）代入可得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）解：令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），

∵OB=OD=3，

∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，

∴∠BDA=90°，

∵BD=3 ，AD= ，

∴S△ABD= BDAD=3．

（3）解：∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，

∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，

∴△PDB∽△ADP，

∴PD2=BDAD=3 =6，

∴PD= ，

∴OP=3+ ，

∴點P（3+ ，0）．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得a=1，即可解決問題．（2）首先證明∠ADB=90°，求出BD、AD的長即可解決問題．（3）由△PDB∽△ADP，推出PD2=BDAD=3 =6，由此即可解決問題．
【考點精析】關(guān)于本題考查的拋物線與坐標軸的交點，需要了解一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．