Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，3），將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上．
（1）求k的值；
（2）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），請(qǐng)?jiān)陔p曲線上找兩點(diǎn)M、N，使四邊形OPMN是平行四邊形，求M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）作出折疊后的草圖，根據(jù)反比例函數(shù)解析式表示出點(diǎn)EF的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理計(jì)算即可求出k值；
（2）利用反比例函數(shù)解析式設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后把平行四邊形OPMN看作是邊PM沿PO方向平移得到的，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)關(guān)系，由點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后再代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）設(shè)E（

k

3

，3），F(xiàn)（4，

k

4

），
將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的G點(diǎn)，作EH⊥OB，垂足為H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB（AA），
∴

EH

GB

=

EG

GF

，
代入解得：GB=

3×(3- k 4 )

(4- k 3 )

=

9

4

，
在Rt△GBF中，GF²=GB²+BF²，代入得(3-

k

4

)2=(

9

4

)2+(

k

4

)2，
解得k=

21

8

；


（2）平行四邊形OPMN，可以看成線段PM沿PO的方向平移至ON處所得．
設(shè)M（a，

21

8a

），
∵P（2，-3）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O（0，0），
∴N（a-2，

21

8a

+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（ 

21

8a

+3）=

21

8

，
整理得4a²-8a-7=0，
解得：a=

2+ 11

2

，a=

2- 11

2

（舍去），

21

8a

=

21×2

8(2+ 11 )

=

3 11 -6

4

，

2+ 11

2

-2=

11 -2

2

，

3 11 -6

4

+3=

3 11 +6

4

，
所以M（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

），N（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）
或M（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）N（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)圖形與性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，利用平移得到平行四邊形從而把平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的平移進(jìn)行求解是解答（2）的巧妙之處，希望同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要開動(dòng)腦筋，從多方位全面的考慮問題，此題難度較大，要仔細(xì)計(jì)算．