Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-3x-3的圖象分別與坐標(biāo)軸相交于A、C兩點(diǎn)，且OB=OC，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD、BD，則△DBC是否有最大面積？若有，求出△DBC的最大面積和此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．
（3）若P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出以點(diǎn)P、Q、A、B為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用已知得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出S_△DBC=

1

2

DN×OB=

3

2

（-m²+3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，求出最值以及D點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）利用分類討論①當(dāng)AB為四邊形ABCD的一邊，②當(dāng)AB為四邊形ABCD的對角線，分別求出即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-3x-3的圖象分別與坐標(biāo)軸相交于A、C兩點(diǎn)
∴A（-1，0），C（0，-3）
又∵OB=OC，
∴B（3，0），
由題意可得拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），過點(diǎn)A、B、C

c=-3 a-b-3=0 9a+3b-3=0

      
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）的直線為y=kx+b
得

b=-3 3k-3=0

解得：

k=1 b=-3

，
  即直線BC的解析式y(tǒng)=x-3，
如圖1，過點(diǎn)D作DN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，
設(shè)點(diǎn)D（m，m²-2m-3），N（m，m-3）（0≤m≤3），
∴DN=|m²-2m-3|-|m-3|
=-（m²-2m-3）-[-（m-3）]
=-m²+3m，
∴S_△DBC=

1

2

DN×OB=

3

2

（-m²+3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
又∵a=-

3

2

＜0，即△DBC有最大面積，
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S_△DBC最大=

27

8

，
∴D（

3

2

，-

15

4

）
（注：用其它方法解答的，請根據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
①當(dāng)AB為四邊形ABCD的一邊，則PQ=AB=4，
∵P在y軸上，
∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為：±4，
當(dāng)橫坐標(biāo)為：4，則縱坐標(biāo)為：y=x²-2x-3=16-2×4-3=5，
當(dāng)橫坐標(biāo)為：-4，則縱坐標(biāo)為：y=x²-2x-3=16-2×（-4）-3=21，
②當(dāng)AB為四邊形ABCD的對角線，如圖2所示，
過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AO=1，
∴BE=1，
∴Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為：（2，x²-2x-3），
∴y=x²-2x-3=-3，
∴Q₃（2，-3），
∴存在滿足條件的符合要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（4，5），Q₂（-4，21），Q₃（2，-3）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及平行四邊形的判定定理，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．