Question

【題目】已知線段AB，只用圓規(guī)找AB的中點(diǎn)P．

作法：
② 以A為圓心，AB長為半徑作圓；
②以B為圓心，AB長為半徑在圓上連續(xù)截取，記截點(diǎn)為B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5；
③ 以B3為圓心，BB3長為半徑畫弧；以B為圓心，AB長為半徑畫弧，與前弧交于點(diǎn)C；
④以C為圓心，CB長為半徑畫弧交線段AB于點(diǎn)P．
結(jié)論：點(diǎn)P就是所求作的線段AB的中點(diǎn)．
（1）配合圖形，理解作法，根據(jù)作圖過程給予證明：點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．
（2）已知⊙O，請(qǐng)只用圓規(guī)把圓周四等分．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)B3A，B3C，CB，CP

，易知B3，A，B共線，記AB=r，由作圖過程可知B3B=B3C=2r，CP=CB=r，又∵∠CBP公共，∴△B3CB∽△CBP，∴ ，即 ，∴BP= r，即P為AB中點(diǎn)；

（2）解：作法：①以已知圓半徑為半徑在圓上連續(xù)截取，得截點(diǎn)A、B、C、D、E、F；

②分別以A、D為圓心，AC長為半徑，作弧，交于點(diǎn)M；

③以A為圓心，AM為半徑，在圓上連續(xù)截取，得截點(diǎn)A1、D1、A2．

結(jié)論：A、A1、D、A2即圓周四等分點(diǎn)．

【解析】 （1）連結(jié)B3A，B3C，CB，CP，易知B3，A，B三點(diǎn)共線，記AB=r，由作圖過程可知B3B=B3C=2r，CP=CB=r，然后判斷出△B3CB∽△CBP，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例就能得到BP=r , 進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）以已知圓半徑為半徑在圓上連續(xù)截取，得截點(diǎn)A、B、C、D、E、F；分別以A、D為圓心，AC長為半徑，作弧，交于點(diǎn)M；以A為圓心，AM為半徑，在圓上連續(xù)截取，得截點(diǎn)A1、D1、A2從而可得出結(jié)論．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓心角、弧、弦的關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．